Sejam os predicados:
com domínio nos números inteiros.
Escreva em português o significado de cada expressão e determine seu valor-verdade:
$
Escreva em português o significado de cada expressão e determine seu valor-verdade:
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Passo 1
O enunciado dá os predicados
e
com domínio nos números inteiros. As informações relevantes são:
-
. -
é múltiplo de . - Domínio: os números inteiros, isto é,
.
A tarefa pedida é: escrever em português o significado da expressãoe determinar o valor-verdade dessa expressão.
Passo 2
Vamos entender o que significa o quantificador existencial
. O símbolo
quer dizer “existe” ou “há pelo menos um”. Então, em geral, a fórmula
afirma que “existe algum elemento
no domínio tal que
é verdadeiro”. Para provar que uma fórmula existencial é verdadeira basta encontrar um exemplo concreto (um testemunho, chamado witness) do domínio que satisfaça a propriedade
. Se não conseguirmos encontrar nenhum exemplo, então a fórmula é falsa.
Passo 3
Traduzindo literalmente a expressão pedida:
significa
“Existe um inteiro tal que
é múltiplo de
.”
Em linguagem natural: “Há pelo menos um número inteiro que é múltiplo de .”
“Existe um inteiro
Em linguagem natural: “Há pelo menos um número inteiro que é múltiplo de
Passo 4
Agora precisamos decidir verdadeiro ou falso. Pelo que vimos, para mostrar que
é verdadeira basta apresentar um inteiro
que seja múltiplo de
. Lembre que a definição de "múltiplo de
" é:
é múltiplo de
se, e somente se, existe um inteiro
tal que
.
Passo 5
Encontrei exemplos simples no domínio
:
-
. Verificação: , com inteiro; logo é múltiplo de . - Também
. Verificação: , com inteiro. - E
. Verificação: , com inteiro.
Qualquer um desses é um testemunho que fazverdadeira. Como bastou encontrar um, concluímos que a fórmula existencial é verdadeira.
Passo 6
Conclusão final: a expressão
tem o significado "Existe um inteiro
que é múltiplo de
". Como já exibimos exemplos (por exemplo
ou
), a expressão é verdadeira.
Resposta
Existe um inteiro
tal que
é múltiplo de
.
Verdadeiro.
Verdadeiro.