Sejam os predicados:
P(x): x \geq 0 \quad \text { e } \quad Q(x): x \text { é múltiplo de } 3éú
com domínio nos números inteiros.
Escreva em português o significado de cada expressão e determine seu valor-verdade:
$ \exists x Q(x)

Passo 1

O enunciado dá os predicados P(x) e Q(x) com domínio nos números inteiros. As informações relevantes são:
  • P(x): x \geq 0.
  • Q(x): x é múltiplo de 3.
  • Domínio: os números inteiros, isto é, \mathbb{Z}.
    A tarefa pedida é: escrever em português o significado da expressão \exists x\, Q(x) e determinar o valor-verdade dessa expressão.

Passo 2

Vamos entender o que significa o quantificador existencial \exists. O símbolo \exists quer dizer “existe” ou “há pelo menos um”. Então, em geral, a fórmula \exists x\, R(x) afirma que “existe algum elemento x no domínio tal que R(x) é verdadeiro”. Para provar que uma fórmula existencial é verdadeira basta encontrar um exemplo concreto (um testemunho, chamado witness) do domínio que satisfaça a propriedade R. Se não conseguirmos encontrar nenhum exemplo, então a fórmula é falsa.

Passo 3

Traduzindo literalmente a expressão pedida: \exists x\, Q(x) significa
“Existe um inteiro x tal que x é múltiplo de 3.”
Em linguagem natural: “Há pelo menos um número inteiro que é múltiplo de 3.”

Passo 4

Agora precisamos decidir verdadeiro ou falso. Pelo que vimos, para mostrar que \exists x\, Q(x) é verdadeira basta apresentar um inteiro x que seja múltiplo de 3. Lembre que a definição de "múltiplo de 3" é: x é múltiplo de 3 se, e somente se, existe um inteiro k tal que x = 3k.

Passo 5

Encontrei exemplos simples no domínio \mathbb{Z}:
  • x=0. Verificação: 0 = 3\cdot 0, com k=0 inteiro; logo 0 é múltiplo de 3.
  • Também x=3. Verificação: 3 = 3\cdot 1, com k=1 inteiro.
  • E x=-3. Verificação: -3 = 3\cdot (-1), com k=-1 inteiro.
    Qualquer um desses é um testemunho que faz Q(x) verdadeira. Como bastou encontrar um, concluímos que a fórmula existencial é verdadeira.

Passo 6

Conclusão final: a expressão \exists x\, Q(x) tem o significado "Existe um inteiro x que é múltiplo de 3". Como já exibimos exemplos (por exemplo x=0 ou x=3), a expressão é verdadeira.

Resposta

Existe um inteiro x tal que x é múltiplo de 3.
Verdadeiro.

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