Sejam os predicados:
P(x): x \geq 0 \quad \text { e } \quad Q(x): x \text { é múltiplo de } 3éú
com domínio nos números inteiros.
Escreva em português o significado de cada expressão e determine seu valor-verdade:
$ \exists x(P(x) \wedge Q(x))

Passo 1

O enunciado dá os predicados
P(x): x \geq 0 e Q(x): x é múltiplo de 3, com domínio nos inteiros. Pede-se para escrever em português o significado da expressão
\exists x (P(x)\wedge Q(x))
e determinar seu valor-verdade.

Passo 2

Significado do quantificador existencial. A expressão \exists x\,\varphi(x) lê-se "existe x tal que \varphi(x)". Em lógica de predicados, \exists x\,\varphi(x) é verdadeira exatamente quando há pelo menos um elemento do domínio (aqui, um inteiro) que torna \varphi(x) verdadeira. Se não houver nenhum elemento que satisfaça \varphi, então \exists x\,\varphi(x) é falsa.
Significado da conjunção. A fórmula P(x)\wedge Q(x) lê-se " P(x) e Q(x) " e é verdadeira para um dado x somente se ambas as partes forem verdadeiras simultaneamente: tanto P(x) deve ser verdadeira quanto Q(x) deve ser verdadeira. Portanto \exists x (P(x)\wedge Q(x)) pergunta se existe algum inteiro x que satisfaça ao mesmo tempo x\ge 0 e "é múltiplo de 3".

Passo 3

Como testar: para provar que uma existência é verdadeira basta encontrar um exemplo (testemunha) — um inteiro x que satisfaça ambas as propriedades. Vamos procurar inteiros que sejam múltiplos de 3 e não-negativos. Os primeiros candidatos são 0,3,6,\dots.

Passo 4

Verificação explícita com um testemunho simples. Tomemos x=0.
Verificamos P(0): \;0\ge 0 — isso é verdadeiro.
Verificamos Q(0): 0 é múltiplo de 3 porque 0=3\cdot 0 — isso também é verdadeiro.
Como para x=0 temos P(0)\wedge Q(0) verdadeiro, já existe um inteiro que satisfaz ambas as propriedades. Portanto a fórmula existencial é verdadeira. (Observação: há muitos outros testemunhos, por exemplo x=3, x=6, etc.)

Resposta

Existe algum inteiro x tal que x\ge 0 e x é múltiplo de 3. Verdadeiro.

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