Sejam os predicados:
com domínio nos números inteiros.
Escreva em português o significado de cada expressão e determine seu valor-verdade:
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Escreva em português o significado de cada expressão e determine seu valor-verdade:
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Passo 1
O enunciado dá os predicados
e
é múltiplo de
, com domínio nos inteiros. Pede-se para escrever em português o significado da expressão
e determinar seu valor-verdade.
e determinar seu valor-verdade.
Passo 2
Significado do quantificador existencial. A expressão
lê-se "existe
tal que
". Em lógica de predicados,
é verdadeira exatamente quando há pelo menos um elemento do domínio (aqui, um inteiro) que torna
verdadeira. Se não houver nenhum elemento que satisfaça
, então
é falsa.
Significado da conjunção. A fórmula lê-se "
e
" e é verdadeira para um dado
somente se ambas as partes forem verdadeiras simultaneamente: tanto
deve ser verdadeira quanto
deve ser verdadeira. Portanto
pergunta se existe algum inteiro
que satisfaça ao mesmo tempo
e "é múltiplo de
".
Significado da conjunção. A fórmula
Passo 3
Como testar: para provar que uma existência é verdadeira basta encontrar um exemplo (testemunha) — um inteiro
que satisfaça ambas as propriedades. Vamos procurar inteiros que sejam múltiplos de
e não-negativos. Os primeiros candidatos são
.
Passo 4
Verificação explícita com um testemunho simples. Tomemos
.
Verificamos :
— isso é verdadeiro.
Verificamos :
é múltiplo de
porque
— isso também é verdadeiro.
Como para temos
verdadeiro, já existe um inteiro que satisfaz ambas as propriedades. Portanto a fórmula existencial é verdadeira. (Observação: há muitos outros testemunhos, por exemplo
,
, etc.)
Verificamos
Verificamos
Como para
Resposta
Existe algum inteiro
tal que
e
é múltiplo de
. Verdadeiro.