Sejam
a reta dada por
, com
e
o plano de equação
, sendo
e
constantes. Determine, se possível, todos os valores de
e
para que
e
sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(a) O plano
é horizontal.
(a) O plano
Passo 1
O enunciado dá:
e o plano
onde
e
são constantes (ainda desconhecidas). A pergunta do item (a) é: determinar, se possível, todos os valores de
e
para que
seja horizontal. Não há outras perguntas neste item.
Passo 2
Vamos entender o que significa “o plano
é horizontal” e como ler isso a partir da equação do plano. Uma equação geral de plano em
tem forma
e o vetor normal ao plano (o vetor perpendicular ao plano) é
Aqui, comparando com
, temos que o vetor normal é
Explicando devagar: o vetor normal aponta na direção que é perpendicular a todo vetor que está no plano; as componentes
são justamente as coordenadas desse vetor.
Passo 3
O que significa geometricamente um plano ser “horizontal”? Um plano horizontal é paralelo ao plano
(aquele plano onde
é constante), isto é, é um plano do tipo
A normal de qualquer plano horizontal é um vetor paralelo ao eixo
, ou seja, é um múltiplo do vetor
. Em termos das componentes do normal isso quer dizer que as componentes nas direções
e
devem ser zero.
Passo 4
Aplicando essa condição ao nosso caso, pedimos que o vetor normal
seja paralelo a
. Isso implica que as componentes
e
do normal sejam zero, isto é:
Mas a primeira igualdade
é impossível. Portanto não há como escolher
e
para zerar a componente
do normal, porque ela já está fixa em
.
Passo 5
Outra forma rápida de ver: um plano horizontal tem equação da forma
, que escrita na forma
exigiria
e
(restando apenas
). Como
, isso não ocorre.
Resposta
Não existe nenhum par
que torne
horizontal.