Sejam r a reta dada por (x, y, z)=(1,-2,4)+t(5,-3,7), com t \in \mathbb{R} e \Pi o plano de equação 3 x+\alpha y+\beta z=5, sendo \alpha e \beta constantes. Determine, se possível, todos os valores de \alpha e \beta para que r e \Pi sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(a) O plano \Pi é horizontal.

Passo 1

O enunciado dá:
r:\\ (x,y,z)=(1,-2,4)+t(5,-3,7),\\ t\in\mathbb{R}
e o plano
\Pi:\\\ 3x+\alpha y+\beta z=5,
onde \alpha e \beta são constantes (ainda desconhecidas). A pergunta do item (a) é: determinar, se possível, todos os valores de \alpha e \beta para que \Pi seja horizontal. Não há outras perguntas neste item.

Passo 2

Vamos entender o que significa “o plano \Pi é horizontal” e como ler isso a partir da equação do plano. Uma equação geral de plano em \mathbb{R}^3 tem forma
ax+by+cz=d,
e o vetor normal ao plano (o vetor perpendicular ao plano) é
\mathbf{n}=(a,b,c).
Aqui, comparando com \Pi, temos que o vetor normal é
\mathbf{n}=(3,\alpha,\beta).
Explicando devagar: o vetor normal aponta na direção que é perpendicular a todo vetor que está no plano; as componentes a,b,c são justamente as coordenadas desse vetor.

Passo 3

O que significa geometricamente um plano ser “horizontal”? Um plano horizontal é paralelo ao plano xy (aquele plano onde z é constante), isto é, é um plano do tipo
z=\text{constante}.
A normal de qualquer plano horizontal é um vetor paralelo ao eixo z, ou seja, é um múltiplo do vetor (0,0,1). Em termos das componentes do normal isso quer dizer que as componentes nas direções x e y devem ser zero.

Passo 4

Aplicando essa condição ao nosso caso, pedimos que o vetor normal (3,\alpha,\beta) seja paralelo a (0,0,1). Isso implica que as componentes x e y do normal sejam zero, isto é:
3=0\quad\text{e}\quad \alpha=0.
Mas a primeira igualdade 3=0 é impossível. Portanto não há como escolher \alpha e \beta para zerar a componente x do normal, porque ela já está fixa em 3.

Passo 5

Outra forma rápida de ver: um plano horizontal tem equação da forma z=c, que escrita na forma 3x+\alpha y+\beta z=5 exigiria 3=0 e \alpha=0 (restando apenas \beta z=5). Como 3\neq0, isso não ocorre.

Resposta

Não existe nenhum par (\alpha,\beta) que torne \Pi horizontal.

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