Determine as coordenadas retangulares dos pontos cujas coordenadas polares são dadas.
(a) ((1,7 \pi / 4))

Passo 1

O enunciado dá um ponto em coordenadas polares e pede as coordenadas retangulares correspondentes.
Dados fornecidos: r=1 e \theta=\dfrac{7\pi}{4}.
Pergunta: encontrar (x,y) em coordenadas retangulares correspondentes a esse par polar.

Passo 2

Para transformar de coordenadas polares para retangulares usamos as fórmulas (essas são fundamentais; anota aí):
x = r\cos\theta
y = r\sin\theta
Aqui r é a distância do ponto à origem (sempre não negativa) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo. Vamos aplicar essas fórmulas com r=1 e \theta=\dfrac{7\pi}{4}.

Passo 3

Determine o seno e cosseno de \theta=\dfrac{7\pi}{4}.
Observação geométrica: \dfrac{7\pi}{4} equivale a 315^\circ, que fica no quarto quadrante. A referência desse ângulo é \dfrac{\pi}{4} (ou seja, 45^\circ). Nos ângulos de referência \dfrac{\pi}{4} temos
\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Como \dfrac{7\pi}{4} está no quarto quadrante, o cosseno é positivo e o seno é negativo. Portanto
\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas de conversão com r=1:
x = 1\cdot\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2},
y = 1\cdot\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Podemos checar rapidamente que a distância à origem é \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=1, consistente com r=1.

Resposta

\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)

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