Sejam
a reta dada por
, com
e
o plano de equação
, sendo
e
constantes. Determine, se possível, todos os valores de
e
para que
e
sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(b) O plano П é vertical.
(b) O plano П é vertical.
Passo 1
O enunciado dá a reta
,
, e o plano
de equação
, em que
e
são constantes desconhecidas.
A pergunta do item (b) é: determinar todos os valores de e
para que o plano
seja vertical. Não nos pedem nada sobre a reta além da sua equação — só queremos a condição em
que torne
vertical.
A pergunta do item (b) é: determinar todos os valores de
Passo 2
Lembrete importante (passo-a-passo didático): a equação geral de um plano em
tem vetor normal ao plano dado por
Esse vetor
é perpendicular a qualquer vetor contido no plano. No nosso caso, os coeficientes da equação
determinam o vetor normal
Expliquei isso porque a condição de verticalidade será expressa em termos desse vetor normal.
Passo 3
Definir cuidadosamente “plano vertical”: uma forma equivalente e prática é dizer que um plano é vertical se ele contém uma direção vertical (ou seja, contém vetores paralelos ao eixo
). O vetor que representa a direção vertical é
Se o plano contém a direção vertical, então
é paralelo ao plano. Vetorialmente, um vetor é paralelo a um plano se e somente se é orthogonal ao vetor normal do plano. Ou seja, para que
esteja contido (ou seja, paralelo) ao plano, devemos ter
Essa equivalência é central: “contém a direção vertical” ⇔ “normal tem componente z nula” — vamos aplicar isso.
Passo 4
Calcule o produto escalar
. Com
e
,
A condição
fica, então,
Portanto, para que
contenha a direção vertical (isto é, seja vertical), precisamos ter
. Não há nenhuma restrição sobre
aqui: qualquer
é permitida.
Passo 5
Verificação intuitiva e exemplo: se
a equação do plano fica
que não depende de
. Geometricamente, isso significa que para cada ponto
solução da equação há uma reta vertical (variação em
) inteira incluída no plano — por isso o plano é vertical. Por exemplo, com
e
o plano é
, claramente vertical.