Sejam r a reta dada por (x, y, z)=(1,-2,4)+t(5,-3,7), com t \in \mathbb{R} e \Pi o plano de equação 3 x+\alpha y+\beta z=5, sendo \alpha e \beta constantes. Determine, se possível, todos os valores de \alpha e \beta para que r e \Pi sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(b) O plano П é vertical.

Passo 1

O enunciado dá a reta (x,y,z)=(1,-2,4)+t(5,-3,7), t\in\mathbb{R}, e o plano \Pi de equação 3x+\alpha y+\beta z=5, em que \alpha e \beta são constantes desconhecidas.
A pergunta do item (b) é: determinar todos os valores de \alpha e \beta para que o plano \Pi seja vertical. Não nos pedem nada sobre a reta além da sua equação — só queremos a condição em \alpha,\beta que torne \Pi vertical.

Passo 2

Lembrete importante (passo-a-passo didático): a equação geral de um plano em \mathbb{R}^3
a x + b y + c z = d
tem vetor normal ao plano dado por
\mathbf{n}=(a,b,c).
Esse vetor \mathbf{n} é perpendicular a qualquer vetor contido no plano. No nosso caso, os coeficientes da equação 3x+\alpha y+\beta z=5 determinam o vetor normal
\mathbf{n}=(3,\alpha,\beta).
Expliquei isso porque a condição de verticalidade será expressa em termos desse vetor normal.

Passo 3

Definir cuidadosamente “plano vertical”: uma forma equivalente e prática é dizer que um plano é vertical se ele contém uma direção vertical (ou seja, contém vetores paralelos ao eixo z). O vetor que representa a direção vertical é
\mathbf{k}=(0,0,1).
Se o plano contém a direção vertical, então \mathbf{k} é paralelo ao plano. Vetorialmente, um vetor é paralelo a um plano se e somente se é orthogonal ao vetor normal do plano. Ou seja, para que \mathbf{k} esteja contido (ou seja, paralelo) ao plano, devemos ter
\mathbf{n}\cdot\mathbf{k}=0.
Essa equivalência é central: “contém a direção vertical” ⇔ “normal tem componente z nula” — vamos aplicar isso.

Passo 4

Calcule o produto escalar \mathbf{n}\cdot\mathbf{k}. Com \mathbf{n}=(3,\alpha,\beta) e \mathbf{k}=(0,0,1),
\mathbf{n}\cdot\mathbf{k}=3\cdot 0+\alpha\cdot 0+\beta\cdot 1=\beta.
A condição \mathbf{n}\cdot\mathbf{k}=0 fica, então,
\beta=0.
Portanto, para que \Pi contenha a direção vertical (isto é, seja vertical), precisamos ter \beta=0. Não há nenhuma restrição sobre \alpha aqui: qualquer \alpha\in\mathbb{R} é permitida.

Passo 5

Verificação intuitiva e exemplo: se \beta=0 a equação do plano fica
3x+\alpha y=5,
que não depende de z. Geometricamente, isso significa que para cada ponto (x,y) solução da equação há uma reta vertical (variação em z) inteira incluída no plano — por isso o plano é vertical. Por exemplo, com \alpha=2 e \beta=0 o plano é 3x+2y=5, claramente vertical.

Resposta

\beta=0 e \alpha\in\mathbb{R}.

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