Sejam r a reta dada por (x, y, z)=(-2,1,4)+t(5,-3,5), com t \in \mathbb{R} e \Pi o plano de equação 2 x+\alpha y+\beta z=5, sendo \alpha e \beta constantes. Determine, se possível, todos os valores de \alpha e \beta para que r e \Pi sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(a) O plano П é vertical.

Passo 1

O enunciado dá a reta r e o plano \Pi e pede para determinar valores de \alpha e \beta tal que \Pi seja vertical. Dados fornecidos:
\text{reta } r: (x,y,z)=(-2,1,4)+t(5,-3,5),\quad t\in\mathbb{R},
\text{plano } \Pi: 2x+\alpha y+\beta z=5,
com \alpha e \beta constantes. Pergunta do item (a): achar todos os valores de \alpha e \beta para os quais o plano \Pi é vertical.

Passo 2

Entendendo o que significa “plano vertical” (aqui vou explicar devagarinho como se estivéssemos estudando juntos). Em geometria no espaço, chamamos um plano de vertical quando ele contém a direção vertical (a direção do eixo z). A direção vertical é dada pelo vetor
(0,0,1).
Se esse vetor pertence ao plano, então o plano é paralelo ao eixo z e, portanto, vertical.

Passo 3

Relação entre plano e vetor normal — aula rápida. Um plano com equação
ax+by+cz=d
tem vetor normal igual a
\mathbf{n}=(a,b,c).
O vetor normal é perpendicular a todos os vetores que estão no plano. Logo, para que o vetor vertical (0,0,1) esteja no plano, ele precisa ser perpendicular ao vetor normal \mathbf{n}. Ou seja, o produto escalar (dot product) entre \mathbf{n} e (0,0,1) deve ser zero.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso plano \Pi. O vetor normal de \Pi é
\mathbf{n}=(2,\alpha,\beta).
O produto escalar com (0,0,1) é
(2,\alpha,\beta)\cdot(0,0,1)=\beta.
Para que (0,0,1) esteja no plano (isto é, para o plano ser vertical), precisamos de
\beta=0.

Passo 5

Conclusão e verificação simples. Com \beta=0 a equação do plano fica
2x+\alpha y=5,
que realmente não envolve z, ou seja, qualquer valor de z é permitido para pontos do plano — característica de um plano paralelo ao eixo z. Note que 2\neq0, logo a equação define um plano válido para qualquer \alpha. Portanto não há outra restrição sobre \alpha.

Resposta

\alpha\in\mathbb{R},\\ \beta=0

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