Sejam
a reta dada por
, com
e
o plano de equação
, sendo
e
constantes. Determine, se possível, todos os valores de
e
para que
e
sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(a) O plano П é vertical.
(a) O plano П é vertical.
Passo 1
O enunciado dá a reta
e o plano
e pede para determinar valores de
e
tal que
seja vertical. Dados fornecidos:
com
e
constantes. Pergunta do item (a): achar todos os valores de
e
para os quais o plano
é vertical.
Passo 2
Entendendo o que significa “plano vertical” (aqui vou explicar devagarinho como se estivéssemos estudando juntos). Em geometria no espaço, chamamos um plano de vertical quando ele contém a direção vertical (a direção do eixo
). A direção vertical é dada pelo vetor
Se esse vetor pertence ao plano, então o plano é paralelo ao eixo
e, portanto, vertical.
Passo 3
Relação entre plano e vetor normal — aula rápida. Um plano com equação
tem vetor normal igual a
O vetor normal é perpendicular a todos os vetores que estão no plano. Logo, para que o vetor vertical
esteja no plano, ele precisa ser perpendicular ao vetor normal
. Ou seja, o produto escalar (dot product) entre
e
deve ser zero.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso plano
. O vetor normal de
é
O produto escalar com
é
Para que
esteja no plano (isto é, para o plano ser vertical), precisamos de
Passo 5
Conclusão e verificação simples. Com
a equação do plano fica
que realmente não envolve
, ou seja, qualquer valor de
é permitido para pontos do plano — característica de um plano paralelo ao eixo
. Note que
, logo a equação define um plano válido para qualquer
. Portanto não há outra restrição sobre
.