Questão 2

Seja \alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a função vetorial dada por \alpha(t)=\left(t^{3}-t+2, t^{2}-2 t^{3}, 3 t^{4}-1\right). Denote por \mathcal{C} a curva em \mathbb{R}^{3} que é a imagem de \alpha (ou traço de \alpha ).
(a) Determine as coordenadas de um vetor tangente à curva \mathcal{C} no ponto \alpha(-5).
(b) Determine uma equação para a reta tangente à curva \mathcal{C} no ponto A=(26,-45,242).

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 definida por
\alpha(t)=\bigl(t^{3}-t+2,\; t^{2}-2t^{3},\; 3t^{4}-1\bigr).
Denota-se por \mathcal{C} a curva imagem de \alpha. O que se pede:
  • (a) Determinar as coordenadas de um vetor tangente à curva \mathcal{C} no ponto \alpha(-5).
  • (b) Determinar uma equação para a reta tangente à curva \mathcal{C} no ponto A=(26,-45,242).
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva é dada pela parametrização \alpha(t).
  • O ponto para (a) é \alpha(-5) (ou seja, o ponto da curva correspondente a t=-5).
  • O ponto para (b) é A=(26,-45,242) (devemos encontrar o parâmetro t que gera esse ponto na curva e então a reta tangente).

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): por que derivada dá vetor tangente?
Uma função vetorial \alpha(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) tem derivada definida componente a componente:
\alpha'(t)=\bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr).
Essa derivada representa a velocidade do ponto que percorre a curva quando o parâmetro varia; geometricamente, é um vetor tangente à curva no ponto \alpha(t). Aqui:
  • x(t)=t^{3}-t+2,
  • y(t)=t^{2}-2t^{3},
  • z(t)=3t^{4}-1.
Regras de diferenciação usadas (lembrando de forma simples):
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • A derivada de uma constante é zero.
Vamos aplicar isso componente a componente para obter \alpha'(t).

Passo 3

Calcular a derivada \alpha'(t) componente a componente.
  • Para x(t)=t^{3}-t+2:
    x'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)-\dfrac{d}{dt}\bigl(t\bigr)+\dfrac{d}{dt}(2) =3t^{2}-1+0=3t^{2}-1.
  • Para y(t)=t^{2}-2t^{3}:
    y'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)-2\dfrac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr) =2t-2\cdot 3t^{2}=2t-6t^{2}.
  • Para z(t)=3t^{4}-1:
    z'(t)=3\cdot\dfrac{d}{dt}\bigl(t^{4}\bigr)-\dfrac{d}{dt}(1) =3\cdot 4t^{3}-0=12t^{3}.
Portanto,
\alpha'(t)=\bigl(3t^{2}-1,\; 2t-6t^{2},\; 12t^{3}\bigr).

Passo 4

Resolver (a): vetor tangente em \alpha(-5).
Avaliar \alpha'(t) em t=-5. Calculemos cada componente com calma:
  • Primeira componente:
    3t^{2}-1 \quad\text{em}\quad t=-5 \Rightarrow 3(-5)^{2}-1=3\cdot 25-1=75-1=74.
  • Segunda componente:
    2t-6t^{2} \quad\text{em}\quad t=-5 \Rightarrow 2(-5)-6(-5)^{2}=-10-6\cdot 25=-10-150=-160.
  • Terceira componente:
    12t^{3} \quad\text{em}\quad t=-5 \Rightarrow 12(-5)^{3}=12\cdot(-125)=-1500.
Logo, um vetor tangente à curva \mathcal{C} no ponto \alpha(-5) é
\alpha'(-5)=\bigl(74,\;-160,\;-1500\bigr).
Observação didática rápida: qualquer múltiplo escalar desse vetor também é um vetor de direção tangente; mas normalmente usamos \alpha'(t) diretamente.

Passo 5

Preparação para (b): identificar o parâmetro [t) que gera o ponto A=(26,-45,242).
Precisamos encontrar t_{0} tal que \alpha(t_{0})=A. Isso significa resolver o sistema:
\begin{cases} t^{3}-t+2=26,\\[4pt] t^{2}-2t^{3}=-45,\\[4pt] 3t^{4}-1=242. \end{cases}
É suficiente encontrar um t\] que satisfaça uma das equações e verificar nas outras (se a parametrização é correta, todas devem concordar). Começamos pela primeira: \[t^{3}-t+2=26 \;\Longrightarrow\; t^{3}-t-24=0.\] Testamos raízes inteiras simples (regra prática: divisores de 24). Experimente \(t=3:
3^{3}-3-24=27-3-24=0,
logo t=3 é solução candidata. Verificamos nas outras componentes:
  • Segunda: t^{2}-2t^{3}=3^{2}-2\cdot 3^{3}=9-54=-45 — confere.
  • Terceira: 3t^{4}-1=3\cdot 3^{4}-1=3\cdot 81-1=243-1=242 — confere.
Portanto o ponto A corresponde ao parâmetro t_{0}=3.]

Passo 6

Calcular o vetor tangente em t_{0}=3 (direção da reta tangente).
Usamos a expressão já obtida para \alpha'(t):
\alpha'(t)=\bigl(3t^{2}-1,\; 2t-6t^{2},\; 12t^{3}\bigr).
Avalie em t=3:
  • Primeira componente:
    3t^{2}-1 \quad\text{em}\quad t=3 \Rightarrow 3\cdot 3^{2}-1=3\cdot 9-1=27-1=26.
  • Segunda componente:
    2t-6t^{2} \quad\text{em}\quad t=3 \Rightarrow 2\cdot 3-6\cdot 3^{2}=6-6\cdot 9=6-54=-48.
  • Terceira componente:
    12t^{3} \quad\text{em}\quad t=3 \Rightarrow 12\cdot 3^{3}=12\cdot 27=324.
Logo o vetor direção da reta tangente em A é
\alpha'(3)=\bigl(26,\;-48,\;324\bigr).
Podemos simplificar por 2 se quisermos: (13,\,-24,\;162) — mas tanto faz; ambos são vetores de direção válidos.

Passo 7

Formular a equação da reta tangente passando por A com direção \alpha'(3).
A forma vetorial paramétrica da reta com ponto \mathbf{r_{0}} e vetor direção \mathbf{v} é
\mathbf{r}(s)=\mathbf{r_{0}}+s\,\mathbf{v},
onde s\in\mathbb{R} é o parâmetro da reta.
Aqui \mathbf{r_{0}}=A=(26,-45,242) e \mathbf{v}=\alpha'(3)=(26,-48,324). Assim a reta tangente é, em forma vetorial paramétrica,
\mathbf{r}(s)=\bigl(26,-45,242\bigr)+s\bigl(26,-48,324\bigr).
Em coordenadas paramétricas (se preferir escrever separadamente):
\begin{cases} x(s)=26+26s,\\[4pt] y(s)=-45-48s,\\[4pt] z(s)=242+324s. \end{cases}
Também se pode escrever na forma simétrica (quando componentes de direção não são zero):
\dfrac{x-26}{26}=\dfrac{y+45}{-48}=\dfrac{z-242}{324}.]

Resposta

(a) \bigl(74,\;-160,\;-1500\bigr)
(b) \mathbf{r}(s)=(26,-45,242)+s(26,-48,324) \
ou equivalentemente \;x=26+26s,\;y=-45-48s,\;z=242+324s \
ou ainda \;\dfrac{x-26}{26}=\dfrac{y+45}{-48}=\dfrac{z-242}{324}

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