Seja \alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a função vetorial dada por \alpha(t)=\left(t^{3}-t+2, t^{2}-2 t^{3}, 3 t^{4}-1\right). Denote por \mathcal{C} a curva em \mathbb{R}^{3} que é a imagem de \alpha (ou traço de \alpha ).
(a) Determine as coordenadas de um vetor tangente à curva \mathcal{C} no ponto \alpha(-5).
(b) Determine uma equação para a reta tangente à curva \mathcal{C} no ponto A=(26,-45,242).
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 definida por
Denota-se por \mathcal{C} a curva imagem de \alpha. O que se pede:
(a) Determinar as coordenadas de um vetor tangente à curva \mathcal{C} no ponto \alpha(-5).
(b) Determinar uma equação para a reta tangente à curva \mathcal{C} no ponto A=(26,-45,242).
Informações relevantes fornecidas:
A curva é dada pela parametrização \alpha(t).
O ponto para (a) é \alpha(-5) (ou seja, o ponto da curva correspondente a t=-5).
O ponto para (b) é A=(26,-45,242) (devemos encontrar o parâmetro t que gera esse ponto na curva e então a reta tangente).
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): por que derivada dá vetor tangente?
Uma função vetorial \alpha(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) tem derivada definida componente a componente:
\alpha'(t)=\bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr).
Essa derivada representa a velocidade do ponto que percorre a curva quando o parâmetro varia; geometricamente, é um vetor tangente à curva no ponto \alpha(t). Aqui:
x(t)=t^{3}-t+2,
y(t)=t^{2}-2t^{3},
z(t)=3t^{4}-1.
Regras de diferenciação usadas (lembrando de forma simples):
\dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
A derivada de uma constante é zero.
Vamos aplicar isso componente a componente para obter \alpha'(t).
Passo 3
Calcular a derivada \alpha'(t) componente a componente.
Logo, um vetor tangente à curva \mathcal{C} no ponto \alpha(-5) é
\alpha'(-5)=\bigl(74,\;-160,\;-1500\bigr).
Observação didática rápida: qualquer múltiplo escalar desse vetor também é um vetor de direção tangente; mas normalmente usamos \alpha'(t) diretamente.
Passo 5
Preparação para (b): identificar o parâmetro [t) que gera o ponto A=(26,-45,242).
Precisamos encontrar t_{0} tal que \alpha(t_{0})=A. Isso significa resolver o sistema:
É suficiente encontrar um t\] que satisfaça uma das equações e verificar nas outras (se a parametrização é correta, todas devem concordar). Começamos pela primeira:
\[t^{3}-t+2=26 \;\Longrightarrow\; t^{3}-t-24=0.\]
Testamos raízes inteiras simples (regra prática: divisores de 24). Experimente \(t=3:
3^{3}-3-24=27-3-24=0,
logo t=3 é solução candidata. Verificamos nas outras componentes:
(b) \mathbf{r}(s)=(26,-45,242)+s(26,-48,324) \
ou equivalentemente \;x=26+26s,\;y=-45-48s,\;z=242+324s \
ou ainda \;\dfrac{x-26}{26}=\dfrac{y+45}{-48}=\dfrac{z-242}{324}