Sejam r a reta dada por (x, y, z)=(1,-2,4)+t(5,-3,7), com t \in \mathbb{R} e \Pi o plano de equação 3 x+\alpha y+\beta z=5, sendo \alpha e \beta constantes. Determine, se possível, todos os valores de \alpha e \beta para que r e \Pi sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(e) A reta r é paralela ao plano \Pi e não está contida em \Pi.

Passo 1

Dados do enunciado:
  • A reta r é dada por (x,y,z)=(1,-2,4)+t(5,-3,7), com t\in\mathbb{R}.
    • Portanto um ponto que pertence a r é P=(1,-2,4).
    • O vetor diretor de r é \mathbf{v}=(5,-3,7).
  • O plano \Pi tem equação 3x+\alpha y+\beta z=5, com \alpha,\beta constantes.
    • O vetor normal do plano é \mathbf{n}=(3,\alpha,\beta).
      Pergunta do item (e): determinar todos os valores de \alpha e \beta tais que a reta r seja paralela ao plano \Pi e não esteja contida em \Pi.

Passo 2

Conceito chave — quando uma reta é paralela a um plano:
  • Uma reta com vetor diretor \mathbf{v} é paralela a um plano de vetor normal \mathbf{n} se, e somente se, \mathbf{v} for ortogonal a \mathbf{n}.
  • Ortogonalidade entre vetores significa que o produto escalar é nulo: \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0.
    Aplicando aqui:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=(5,-3,7)\cdot(3,\alpha,\beta)=5\cdot3+(-3)\cdot\alpha+7\cdot\beta.
Portanto a condição de paralelismo é
5\cdot3-3\alpha+7\beta=0.
Em forma simplificada:
3\alpha-7\beta=15.

Passo 3

Conceito chave — quando a reta está contida no plano:
  • Para a reta estar contida no plano é preciso que toda a reta satisfaça a equação do plano.
  • Como a reta é paralela ao plano (já imposto), basta verificar se um ponto da reta pertence ao plano: se um ponto da reta satisfaz a equação do plano, então toda a reta está no plano (porque a direção é paralela ao plano).
    Usamos o ponto P=(1,-2,4). Substituindo na equação do plano obtemos a condição de pertença:
3\cdot1+\alpha\cdot(-2)+\beta\cdot4=5.
Isto dá a equação
-2\alpha+4\beta=2.

Passo 4

Interpretação lógica:
  • Queremos que a reta seja paralela ao plano (condição da Passo 2) e que NÃO esteja contida (negação da condição da Passo 3).
  • Assim devemos ter simultaneamente
3\alpha-7\beta=15
e
-2\alpha+4\beta\neq2.

Passo 5

Identificar o caso em que as duas equações são simultaneamente verdadeiras (este caso corresponderia à reta contida no plano) — vamos resolver o sistema linear
\begin{cases} 3\alpha-7\beta=15,\\[4pt] -2\alpha+4\beta=2. \end{cases}
Eliminação: multiplicando a primeira por 2\) e a segunda por \(3\) para eliminar \(\alpha\): \[\begin{cases} 6\alpha-14\beta=30,\\[4pt] -6\alpha+12\beta=6. \end{cases}
Somando as duas equações:
-2\beta=36 \quad\Rightarrow\quad \beta=-18.
Substituindo \beta=-18\] em \(3\alpha-7\beta=15:
3\alpha-7(-18)=15 \quad\Rightarrow\quad 3\alpha+126=15 \quad\Rightarrow\quad 3\alpha=-111 \quad\Rightarrow\quad \alpha=-37.
Portanto o par (\alpha,\beta)=(-37,-18) é exatamente o caso em que a reta é paralela e está contida no plano.]

Passo 6

Conclusão e parametração das soluções válidas:
  • A condição de paralelismo sozinha é a reta reta dada por
3\alpha-7\beta=15.
Isto é uma reta no plano dos parâmetros (\alpha,\beta), ou seja, infinitos pares satisfazem o paralelismo.
  • Devemos excluir o par que torna a reta contida no plano, que encontramos ser (\alpha,\beta)=(-37,-18).
  • Uma forma prática de descrever todas as soluções é expressar \alpha em função de \beta:
\alpha=\frac{15+7\beta}{3},\qquad \beta\in\mathbb{R},\\ \beta\neq-18.
Exemplo numérico para checar: escolhendo \beta=0 obtemos \alpha=5. Então 3\alpha-7\beta=15 e -2\alpha+4\beta=-10\neq2, logo a reta é paralela ao plano e não está contida — confirmação prática.

Resposta

\{(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\mid 3\alpha-7\beta=15\}\setminus\{(-37,-18)\}
ou equivalentemente
\alpha=\dfrac{15+7\beta}{3} com \beta\neq-18.

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