Sejam
a reta dada por
, com
e
o plano de equação
, sendo
e
constantes. Determine, se possível, todos os valores de
e
para que
e
sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(e) A reta
é paralela ao plano
e não está contida em
.
(e) A reta
Passo 1
Dados do enunciado:
- A reta
é dada por , com . - Portanto um ponto que pertence a
é . - O vetor diretor de
é .
- Portanto um ponto que pertence a
- O plano
tem equação , com constantes. - O vetor normal do plano é
.
Pergunta do item (e): determinar todos os valores dee tais que a reta seja paralela ao plano e não esteja contida em .
- O vetor normal do plano é
Passo 2
Conceito chave — quando uma reta é paralela a um plano:
- Uma reta com vetor diretor
é paralela a um plano de vetor normal se, e somente se, for ortogonal a . - Ortogonalidade entre vetores significa que o produto escalar é nulo:
.
Aplicando aqui:
Portanto a condição de paralelismo é
Em forma simplificada:
Passo 3
Conceito chave — quando a reta está contida no plano:
- Para a reta estar contida no plano é preciso que toda a reta satisfaça a equação do plano.
- Como a reta é paralela ao plano (já imposto), basta verificar se um ponto da reta pertence ao plano: se um ponto da reta satisfaz a equação do plano, então toda a reta está no plano (porque a direção é paralela ao plano).
Usamos o ponto. Substituindo na equação do plano obtemos a condição de pertença:
Isto dá a equação
Passo 4
Interpretação lógica:
- Queremos que a reta seja paralela ao plano (condição da Passo 2) e que NÃO esteja contida (negação da condição da Passo 3).
- Assim devemos ter simultaneamente
e
Passo 5
Identificar o caso em que as duas equações são simultaneamente verdadeiras (este caso corresponderia à reta contida no plano) — vamos resolver o sistema linear
Eliminação: multiplicando a primeira por
Somando as duas equações:
Substituindo
:
Portanto o par
é exatamente o caso em que a reta é paralela e está contida no plano.]
Passo 6
Conclusão e parametração das soluções válidas:
- A condição de paralelismo sozinha é a reta reta dada por
Isto é uma reta no plano dos parâmetros
, ou seja, infinitos pares satisfazem o paralelismo.
- Devemos excluir o par que torna a reta contida no plano, que encontramos ser
. - Uma forma prática de descrever todas as soluções é expressar
em função de :
Exemplo numérico para checar: escolhendo
obtemos
. Então
e
, logo a reta é paralela ao plano e não está contida — confirmação prática.
Resposta
ou equivalentemente