Sejam
uma reta e
um ponto não pertencente a
. O ponto simétrico do ponto
em relação à reta
é o ponto
tal que
é a mediatriz do segmento
. Determine as coordenadas de
sabendo que
e
. Faça o caso particular em que
e
.
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma reta
escrita como . - Um ponto
que não pertence a .
O que se pede:
- Determinar as coordenadas do ponto simétrico
de em relação à reta (isto é, é a mediatriz do segmento ). - Fazer o caso particular para
e .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A reta pode ser escrita equivalently como
. - O ponto
tem coordenadas . - Para obter o simétrico em relação a uma reta, é útil usar a projeção ortogonal (pé da perpendicular) de
sobre a reta e a relação de ponto médio da mediatriz.
Passo 2
Ideia geométrica e definição das quantidades que vamos usar (passo-a-passo, devagar e sem pânico).
- A reta
tem um vetor normal . Isso significa que é perpendicular a qualquer vetor paralelo à reta. - O pé da perpendicular de
sobre (vamos chamar de ) é a projeção ortogonal de sobre . Geometricamente, é o ponto da reta mais próximo de . - Como
é a mediatriz do segmento , o ponto é o ponto médio de e . Assim,
isto é, em coordenadas,
Então nosso plano: primeiro achar
, depois usar
.
Passo 3
Como calcular o pé da perpendicular
de
sobre
.
- A equação da reta em forma conveniente é
. - A distância orientada (assinada) do ponto
até a reta, dividida pelo módulo ao quadrado do normal, aparece naturalmente na projeção. Definimos
Explicação do que é
: o numerador
é proporcional à distância assinada de
à reta; dividir por
ajusta a escala para que, ao multiplicar por
, obtenhamos o deslocamento vetorial desde
até
.
- Portanto o pé
é obtido subtraindo do ponto esse deslocamento na direção do vetor normal:
Colocando
dentro,
Passo 4
Obter as coordenadas do simétrico
a partir de
.
- Lembrando
e , substituímos as fórmulas de :
- Simplificando cada expressão (fazendo com calma):
Esta é a fórmula geral para as coordenadas do ponto simétrico de
em relação à reta
. Guarde-a — é muito útil em provas e exercícios.
Passo 5
Fazer o caso particular
e
.
- Primeiro colocamos a reta na forma
. A reta dada pode ser reescrita como . Logo escolhemos
- Calculamos o numerador
:
- Calculamos o denominador
. - Assim
- Calculamos o pé
(se quiser conferir visualmente é bom):
Logo
.
- Finalmente, o simétrico
:
Portanto, no caso particular
.
Passo 6
Checagem rápida (para ganhar confiança): o ponto médio
entre
e
é
que está sobre a reta
(verificar substituindo as coordenadas em
). Isso confirma que
é mediatriz de
e que o cálculo está consistente. Vai dar certo na prova — respira fundo!