Sejam r uma reta e A um ponto não pertencente a r. O ponto simétrico do ponto A em relação à reta r é o ponto A^{\prime} tal que r é a mediatriz do segmento A A^{\prime}. Determine as coordenadas de A^{\prime} sabendo que r: a x+b y=c e A=\left(x_{0}, y_{0}\right). Faça o caso particular em que r: y=2 x+1 e A=(4,1).

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma reta r escrita como r: a x+b y=c.
  • Um ponto A=\left(x_{0},y_{0}\right) que não pertence a r.
    O que se pede:
  1. Determinar as coordenadas do ponto simétrico A^{\prime} de A em relação à reta r (isto é, r é a mediatriz do segmento A A^{\prime}).
  2. Fazer o caso particular para r: y=2x+1 e A=(4,1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A reta pode ser escrita equivalently como a x+b y-c=0.
  • O ponto A tem coordenadas \left(x_{0},y_{0}\right).
  • Para obter o simétrico em relação a uma reta, é útil usar a projeção ortogonal (pé da perpendicular) de A sobre a reta e a relação de ponto médio da mediatriz.

Passo 2

Ideia geométrica e definição das quantidades que vamos usar (passo-a-passo, devagar e sem pânico).
  • A reta r tem um vetor normal \mathbf{n}=(a,b). Isso significa que \mathbf{n} é perpendicular a qualquer vetor paralelo à reta.
  • O pé da perpendicular de A sobre r (vamos chamar de H) é a projeção ortogonal de A sobre r. Geometricamente, H é o ponto da reta mais próximo de A.
  • Como r é a mediatriz do segmento A A^{\prime}, o ponto H é o ponto médio de A e A^{\prime}. Assim,
A^{\prime}=2H-A,
isto é, em coordenadas,
x^{\prime}=2x_H-x_0,\qquad y^{\prime}=2y_H-y_0.
Então nosso plano: primeiro achar H, depois usar A^{\prime}=2H-A.

Passo 3

Como calcular o pé da perpendicular H de A sobre r.
  • A equação da reta em forma conveniente é a x+b y-c=0.
  • A distância orientada (assinada) do ponto A até a reta, dividida pelo módulo ao quadrado do normal, aparece naturalmente na projeção. Definimos
d=\frac{a x_0+b y_0-c}{a^{2}+b^{2}}.
Explicação do que é d: o numerador a x_0+b y_0-c é proporcional à distância assinada de A à reta; dividir por a^{2}+b^{2} ajusta a escala para que, ao multiplicar por (a,b), obtenhamos o deslocamento vetorial desde A até H.
  • Portanto o pé H é obtido subtraindo do ponto A esse deslocamento na direção do vetor normal:
x_H=x_0-a d,\qquad y_H=y_0-b d.
Colocando d dentro,
x_H=x_0-a\frac{a x_0+b y_0-c}{a^{2}+b^{2}},\qquad y_H=y_0-b\frac{a x_0+b y_0-c}{a^{2}+b^{2}}.

Passo 4

Obter as coordenadas do simétrico A^{\prime} a partir de H.
  • Lembrando x^{\prime}=2x_H-x_0 e y^{\prime}=2y_H-y_0, substituímos as fórmulas de x_H,y_H:
x^{\prime}=2\left(x_0-a\frac{a x_0+b y_0-c}{a^{2}+b^{2}}\right)-x_0,
y^{\prime}=2\left(y_0-b\frac{a x_0+b y_0-c}{a^{2}+b^{2}}\right)-y_0.
  • Simplificando cada expressão (fazendo com calma):
x^{\prime}=x_0-2a\frac{a x_0+b y_0-c}{a^{2}+b^{2}},
y^{\prime}=y_0-2b\frac{a x_0+b y_0-c}{a^{2}+b^{2}}.
Esta é a fórmula geral para as coordenadas do ponto simétrico de \left(x_{0},y_{0}\right) em relação à reta a x+b y=c. Guarde-a — é muito útil em provas e exercícios.

Passo 5

Fazer o caso particular r: y=2x+1 e A=(4,1).
  • Primeiro colocamos a reta na forma a x+b y=c. A reta dada y=2x+1 pode ser reescrita como 2x-y=-1. Logo escolhemos
a=2,\qquad b=-1,\qquad c=-1.
  • Calculamos o numerador \,a x_0+b y_0-c\,:
a x_0+b y_0-c = 2\cdot 4 + (-1)\cdot 1 - (-1) = 8-1+1 = 8.
  • Calculamos o denominador a^{2}+b^{2}=2^{2}+(-1)^{2}=4+1=5.
  • Assim
d=\frac{8}{5}.
  • Calculamos o pé H (se quiser conferir visualmente é bom):
x_H = x_0 - a d = 4 - 2\cdot\frac{8}{5} = 4 - \frac{16}{5} = \frac{4}{5},
y_H = y_0 - b d = 1 - (-1)\cdot\frac{8}{5} = 1 + \frac{8}{5} = \frac{13}{5}.
Logo H=\left(\dfrac{4}{5},\dfrac{13}{5}\right).
  • Finalmente, o simétrico A^{\prime}=2H-A:
x^{\prime}=2\cdot\frac{4}{5}-4 = \frac{8}{5}-\frac{20}{5} = -\frac{12}{5},
y^{\prime}=2\cdot\frac{13}{5}-1 = \frac{26}{5}-\frac{5}{5} = \frac{21}{5}.
Portanto, no caso particular A^{\prime}=\left(-\dfrac{12}{5},\dfrac{21}{5}\right).

Passo 6

Checagem rápida (para ganhar confiança): o ponto médio M entre A e A^{\prime} é
M=\left(\frac{x_0+x^{\prime}}{2},\frac{y_0+y^{\prime}}{2}\right)=\left(\frac{4+(-12/5)}{2},\frac{1+21/5}{2}\right)=\left(\frac{4}{5},\frac{13}{5}\right)=H,
que está sobre a reta 2x-y=-1 (verificar substituindo as coordenadas em 2x-y). Isso confirma que r é mediatriz de AA' e que o cálculo está consistente. Vai dar certo na prova — respira fundo!

Resposta

\displaystyle A^{\prime}=\left(x_0-2a\frac{a x_0+b y_0-c}{a^{2}+b^{2}},\;y_0-2b\frac{a x_0+b y_0-c}{a^{2}+b^{2}}\right)
\displaystyle A^{\prime}=\left(-\frac{12}{5},\;\frac{21}{5}\right)

Exercícios relacionados