Determinar
para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado nos dá a função no domínio de
e pede para determinar
— ou seja, a função no domínio do tempo cuja transformada (no domínio de
) é
.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Há um polo em
de multiplicidade e um polo simples em . - A função
é uma função racional própria que tipicamente se resolve por decomposição em frações parciais para inverter para .
Passo 2
Estratégia de resolução (sem resolver ainda): decompor
em frações parciais do tipo conhecido cuja transformada inversa é direta. Como o polo em
tem multiplicidade
, a decomposição terá termos
. Como há um polo simples em
, haverá também um termo
. Assim assumimos a forma
Explicar por que: cada termo corresponde a uma transformada inversa conhecida (por exemplo
,
,
,
). Vamos achar
.
Passo 3
Multiplicando a identidade proposta por
para eliminar denominadores, obtemos a igualdade de polinômios
Agora expandimos cada termo:
Somando tudo:
Passo 4
Comparando coeficientes do polinômio do lado direito com o polinômio constante
(que tem coeficientes zero para
), obtemos o sistema:
Passo 5
Resolver o sistema passo a passo (contas básicas):
Da última equação,
Da última equação,
Da equação anterior,
Da segunda equação,
Da primeira equação,
Passo 6
Substituindo os coeficientes encontrados na decomposição, obtemos
Passo 7
Lembrar as transformadas inversas básicas que vamos usar (cada uma explicada de forma simples):
-
. Aqui a variável aparece como constante 1. -
. Regra geral: ; invertendo dá . -
(pela mesma fórmula com ). -
. Aqui dará .
Passo 8
Aplicando linearmente a transformada inversa termo a termo:
Somando todos os termos, obtemos