Determinar f(t) para as seguintes funções:
F(s)=\frac{54}{s^{3}(s-3)}

Passo 1

O enunciado nos dá a função no domínio de s
F(s)=\frac{54}{s^{3}(s-3)}
e pede para determinar f(t) — ou seja, a função no domínio do tempo cuja transformada (no domínio de s) é F(s).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O numerador é 54.
  • O denominador é s^{3}(s-3).
  • Há um polo em s=0 de multiplicidade 3 e um polo simples em s=3.
  • A função F(s) é uma função racional própria que tipicamente se resolve por decomposição em frações parciais para inverter para f(t).

Passo 2

Estratégia de resolução (sem resolver ainda): decompor F(s) em frações parciais do tipo conhecido cuja transformada inversa é direta. Como o polo em s=0 tem multiplicidade 3, a decomposição terá termos \dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s^{2}}+\dfrac{C}{s^{3}}. Como há um polo simples em s=3, haverá também um termo \dfrac{D}{s-3}. Assim assumimos a forma
\frac{54}{s^{3}(s-3)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s^{3}}+\frac{D}{s-3}.
Explicar por que: cada termo corresponde a uma transformada inversa conhecida (por exemplo \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}}\}=t, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{3}}\}=\tfrac{t^{2}}{2}, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}). Vamos achar A,B,C,D.

Passo 3

Multiplicando a identidade proposta por s^{3}(s-3) para eliminar denominadores, obtemos a igualdade de polinômios
54 = A s^{2}(s-3) + B s(s-3) + C (s-3) + D s^{3}.
Agora expandimos cada termo:
A s^{2}(s-3)=A(s^{3}-3s^{2})=A s^{3}-3A s^{2},
B s(s-3)=B(s^{2}-3s)=B s^{2}-3B s,
C(s-3)=C s -3C,
D s^{3}=D s^{3}.
Somando tudo:
54 = (A + D) s^{3} + (-3A + B) s^{2} + (-3B + C) s + (-3C).

Passo 4

Comparando coeficientes do polinômio do lado direito com o polinômio constante 54 (que tem coeficientes zero para s^{3},s^{2},s), obtemos o sistema:
\begin{cases} A + D = 0,\\[4pt] -3A + B = 0,\\[4pt] -3B + C = 0,\\[4pt] -3C = 54. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo (contas básicas):
Da última equação,
-3C = 54 \quad\Rightarrow\quad C = -18.
Da equação anterior,
-3B + C = 0 \quad\Rightarrow\quad -3B -18 = 0 \quad\Rightarrow\quad B = -6.
Da segunda equação,
-3A + B = 0 \quad\Rightarrow\quad -3A -6 = 0 \quad\Rightarrow\quad A = -2.
Da primeira equação,
A + D = 0 \quad\Rightarrow\quad -2 + D = 0 \quad\Rightarrow\quad D = 2.

Passo 6

Substituindo os coeficientes encontrados na decomposição, obtemos
\frac{54}{s^{3}(s-3)} = -\frac{2}{s} - \frac{6}{s^{2}} - \frac{18}{s^{3}} + \frac{2}{s-3}.

Passo 7

Lembrar as transformadas inversas básicas que vamos usar (cada uma explicada de forma simples):
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1. Aqui a variável t aparece como constante 1.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=t. Regra geral: \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}; invertendo dá \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s^{2}}\}=t.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{3}}\right\}=\dfrac{t^{2}}{2} (pela mesma fórmula com n=2).
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{a t}. Aqui a=3 dará e^{3t}.

Passo 8

Aplicando linearmente a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{2}{s}\right\} = -2\cdot 1 = -2,
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{6}{s^{2}}\right\} = -6\cdot t = -6t,
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{18}{s^{3}}\right\} = -18\cdot \frac{t^{2}}{2} = -9 t^{2},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s-3}\right\} = 2\,e^{3t}.
Somando todos os termos, obtemos
f(t)=2 e^{3t} -9 t^{2} -6 t -2.

Resposta

f(t)=2e^{3t}-9t^{2}-6t-2

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