De um lote de 20 parafusos, 16 são perfeitos e 4 têm defeitos. Escolhendo 3 parafusos ao acaso, qual a probabilidade de que exatamente 2 sejam perfeitos ?

Passo 1

O enunciado dá um lote com 20 parafusos, dos quais 16 são perfeitos e 4 têm defeito. Escolhemos ao acaso 3 parafusos, sem reposição (ou seja, não voltamos o parafuso escolhido para o lote). A pergunta é: qual a probabilidade de que exatamente 2 dos 3 escolhidos sejam perfeitos (e, portanto, exatamente 1 seja defeituoso)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Total de parafusos: 20.
  • Parafusos perfeitos: 16.
  • Parafusos com defeito: 4.
  • Número de retiradas: 3.
  • Evento de interesse: “exatamente 2 perfeitos” (equivalente a 2 perfeitos e 1 defeituoso).

Passo 2

Como as escolhas são feitas ao acaso e sem reposição, todas as amostras de 3 parafusos têm a mesma probabilidade se tratarmos as amostras como conjuntos (ordem não importa). Portanto podemos usar a ideia de contar resultados: a probabilidade de um evento é
\text{probabilidade}=\frac{\text{nº de resultados favoráveis}}{\text{nº de resultados possíveis}}.ºáºí
Aqui vamos contar resultados possíveis como o número de maneiras de escolher 3 parafusos dentre 20, e resultados favoráveis como as maneiras de escolher exatamente 2 perfeitos e 1 defeituoso.

Passo 3

Explicando combinações (porque usamos contagem sem ordem): a combinação de n elementos tomados k a k é denotada por \binom{n}{k} e dada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n\times(n-1)\times\cdots\times1. Exemplo curto: \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2}=10.
O número total de maneiras de escolher 3 parafusos dentre 20 é
\binom{20}{3}=\frac{20\cdot19\cdot18}{3\cdot2\cdot1}.
Calculemos passo a passo:
20\cdot19\cdot18=6840,
e
3\cdot2\cdot1=6,
logo
\binom{20}{3}=\frac{6840}{6}=1140.
Portanto existem 1140 resultados possíveis (conjuntos de 3 parafusos).

Passo 4

Agora contamos os resultados favoráveis: escolher exatamente 2 perfeitos dentre 16 e 1 defeituoso dentre 4. Como as escolhas são independentes em termos de contagem (escolher quais perfeitos e qual defeituoso), multiplicamos as combinações:
\text{favoráveis}=\binom{16}{2}\cdot\binom{4}{1}.á
Calculemos:
\binom{16}{2}=\frac{16\cdot15}{2}=120,
e
\binom{4}{1}=4.
Logo
\text{favoráveis}=120\cdot4=480.á

Passo 5

Agora a probabilidade pedida é
\frac{\text{favoráveis}}{\text{possíveis}}=\frac{480}{1140}.áí
Vamos simplificar essa fração: dividindo numerador e denominador por 60 (um divisor comum),
\frac{480}{1140}=\frac{480\div60}{1140\div60}=\frac{8}{19}.
Em valor decimal aproximado isso é
\frac{8}{19}\approx0{,}42105\ldots
Como verificação alternativa, podemos pensar na abordagem sequencial: a probabilidade de uma sequência específica “perfeito, perfeito, defeituoso” sem reposição é
\frac{16}{20}\cdot\frac{15}{19}\cdot\frac{4}{18},
e existem \binom{3}{2}=3 posições onde os 2 perfeitos podem aparecer, então multiplicando por 3 obtemos o mesmo resultado \dfrac{8}{19}. Isso confirma consistência.

Resposta

\dfrac{8}{19}\approx0{,}42105

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