De um lote de 20 parafusos, 16 são perfeitos e 4 têm defeitos. Escolhendo 3 parafusos ao acaso, qual a probabilidade de que exatamente 2 sejam perfeitos ?
Passo 1
O enunciado dá um lote com
parafusos, dos quais
são perfeitos e
têm defeito. Escolhemos ao acaso
parafusos, sem reposição (ou seja, não voltamos o parafuso escolhido para o lote). A pergunta é: qual a probabilidade de que exatamente
dos
escolhidos sejam perfeitos (e, portanto, exatamente
seja defeituoso)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Total de parafusos:
. - Parafusos perfeitos:
. - Parafusos com defeito:
. - Número de retiradas:
. - Evento de interesse: “exatamente
perfeitos” (equivalente a perfeitos e defeituoso).
Passo 2
Como as escolhas são feitas ao acaso e sem reposição, todas as amostras de
parafusos têm a mesma probabilidade se tratarmos as amostras como conjuntos (ordem não importa). Portanto podemos usar a ideia de contar resultados: a probabilidade de um evento é
Aqui vamos contar resultados possíveis como o número de maneiras de escolher
parafusos dentre
, e resultados favoráveis como as maneiras de escolher exatamente
perfeitos e
defeituoso.
Passo 3
Explicando combinações (porque usamos contagem sem ordem): a combinação de
elementos tomados
a
é denotada por
e dada por
onde
(fatorial) significa
. Exemplo curto:
.
O número total de maneiras de escolher parafusos dentre
é
O número total de maneiras de escolher
Calculemos passo a passo:
e
logo
Portanto existem
resultados possíveis (conjuntos de
parafusos).
Passo 4
Agora contamos os resultados favoráveis: escolher exatamente
perfeitos dentre
e
defeituoso dentre
. Como as escolhas são independentes em termos de contagem (escolher quais perfeitos e qual defeituoso), multiplicamos as combinações:
Calculemos:
e
Logo
Passo 5
Agora a probabilidade pedida é
Vamos simplificar essa fração: dividindo numerador e denominador por
(um divisor comum),
Em valor decimal aproximado isso é
Como verificação alternativa, podemos pensar na abordagem sequencial: a probabilidade de uma sequência específica “perfeito, perfeito, defeituoso” sem reposição é
e existem
posições onde os
perfeitos podem aparecer, então multiplicando por
obtemos o mesmo resultado
. Isso confirma consistência.