Sejam S=(1,2),(0,1) e T=(1,1),(2,3) bases para R^2. Sejam também v=(1,5) e w=(5,4).
b) Qual é a matriz de mudança de coordenadas PT^S da base T para a base S ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases para :
  • Base
  • Base
A pergunta quer saber qual é a matriz de mudança de coordenadas que transforma as coordenadas de um vetor da base para a base . Basicamente, queremos descobrir como representar os vetores da base em termos da base .

Passo 2

Para encontrar a matriz de mudança de coordenadas , precisamos expressar cada vetor da base como combinação linear dos vetores da base . Ou seja, para cada vetor em , encontraremos os coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores de , resultam naquele vetor de .

Passo 3

Vamos começar pelo primeiro vetor da base (1,1) = a cdot (1,2) + b cdot (0,1) , que é 1 = a cdot 1 + b cdot 0 1 = a cdot 2 + b cdot 1 . Queremos encontrar escalares e tais que:
Isso se traduz nas seguintes equações:

Passo 4

Simplificando as equações:
Da primeira equação:
1 = a
Substituindo 1 = 2 cdot 1 + b 1 = 2 + b b = 1 - 2 b = -1 na segunda equação:
(1,1) = 1 cdot (1,2) - 1 cdot (0,1)
Então, os coeficientes para o vetor em termos de são e . Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor da base (2,3) = c cdot (1,2) + d cdot (0,1) , que é 2 = c cdot 1 + d cdot 0 3 = c cdot 2 + d cdot 1 . Procuramos e tais que:
Isso nos dá:

Passo 6

Simplificando as equações:
Da primeira equação:
2 = c
Substituindo 3 = 2 cdot 2 + d 3 = 4 + d d = 3 - 4 d = -1 na segunda equação:
(2,3) = 2 cdot (1,2) - 1 cdot (0,1)
Portanto, os coeficientes para o vetor em termos de são e . Ou seja:

Passo 7

Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz de mudança de coordenadas PT^S = 1 & 2 -1 & -1 . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes encontrados para os vetores de em termos de .
Assim, temos:

Resposta

A matriz de mudança de coordenadas PT^S = 1 & 2 -1 & -1 da base para a base é:

Exercícios relacionados