Sejam
e
bases para
. Sejam também
e
.
b) Qual é a matriz de mudança de coordenadas
da base
para a base
?
b) Qual é a matriz de mudança de coordenadas
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases para
:
- Base
- Base
A pergunta quer saber qual é a matriz de mudança de coordenadas
que transforma as coordenadas de um vetor da base
para a base
. Basicamente, queremos descobrir como representar os vetores da base
em termos da base
.
Passo 2
Para encontrar a matriz de mudança de coordenadas
, precisamos expressar cada vetor da base
como combinação linear dos vetores da base
. Ou seja, para cada vetor em
, encontraremos os coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores de
, resultam naquele vetor de
.
Passo 3
Vamos começar pelo primeiro vetor da base
, que é
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso se traduz nas seguintes equações:
Passo 4
Simplificando as equações:
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Então, os coeficientes para o vetor
em termos de
são
e
. Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor da base
, que é
. Procuramos
e
tais que:
Isso nos dá:
Passo 6
Simplificando as equações:
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Portanto, os coeficientes para o vetor
em termos de
são
e
. Ou seja:
Passo 7
Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz de mudança de coordenadas
. Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes encontrados para os vetores de
em termos de
.
Assim, temos:
Resposta
A matriz de mudança de coordenadas
da base
para a base
é: