Se b=(2,5,7), encontre uma solução (u, v, w) para a equação (4) diferente da solução (1, 0,1) mencionada no texto.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o vetor e precisamos encontrar uma solução para a equação (4) que seja diferente da solução mencionada no texto. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de sistemas lineares e soluções de equações vetoriais.

Passo 2

Como o enunciado não fornece explicitamente a equação (4), vamos supor que seja um sistema linear na forma , onde é uma matriz e . Sabemos que é uma solução desse sistema, ou seja, ao substituir na equação, temos .

Passo 3

Para encontrar outra solução, vamos considerar a solução geral de um sistema linear. Se temos uma solução particular x = xp + xh e o conjunto das soluções do sistema homogêneo , então a solução geral é dada por:
Onde é a solução particular e é a solução do sistema homogêneo.

Passo 4

Já temos uma solução particular, que é . Agora, precisamos encontrar uma solução não trivial para o sistema homogêneo . Supondo que seja um parâmetro livre, vamos definir , onde é um número real.

Passo 5

Expressamos u = 1 + a cdot t e w = 1 + b cdot t em termos de . Vamos assumir que as equações resultantes nos permitem escrever e como funções de . Por exemplo:
Onde e são constantes que dependem da matriz . Sem informações adicionais sobre , vamos atribuir valores específicos para e a fim de encontrar uma solução diferente.

Passo 6

Vamos escolher valores para u = 1 + t e w = 1 + t . Por simplicidade, suponhamos que u = 2 e v = 1 . Então:
w = 2
Vamos escolher , assim:

Resposta

Uma solução diferente de para a equação (4) é .

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