Começando com x+4 y=7, encontre a equação da reta paralela que passa por x=0, y=0. Encontre a equação de outra reta que cruze a primeira em x=3, y=1.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a equação da reta original . Precisamos encontrar:
  1. A equação de uma reta paralela a essa que passe pelo ponto .
  2. A equação de outra reta que corte a primeira reta no ponto .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de inclinação de retas e equações de retas na forma , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular da reta original x + 4y = 7 4y = -x + 7 y = -14x + 74 . Para isso, vamos reorganizar a equação na forma :
Então, o coeficiente angular da reta original é .

Passo 3

Como queremos uma reta paralela à original, ela deve ter o mesmo coeficiente angular. Portanto, 0 = -14(0) + b 0 = 0 + b b = 0 . Agora, vamos usar a forma e o ponto pelo qual a reta deve passar para encontrar :

Passo 4

Com o valor de y = -14x e , a equação da reta paralela que passa por é:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a equação de outra reta que corte a primeira reta no ponto . Primeiro, identificamos que esse ponto deve satisfazer ambas as equações das retas.
Vamos chamar essa nova reta de e supor que sua equação seja .

Passo 6

Sabemos que o ponto 1 = m'(3) + b' 1 = 3m' + b' está na reta , então substituímos esses valores na equação:

Passo 7

Além disso, essa reta m'x + b' = -14x + 74 deve cruzar a reta original m' = -14 b' = 74 no ponto . Para encontrar uma relação entre e , consideramos que no ponto de interseção, as duas equações são iguais:
Como isso deve ser válido para todos os pontos, igualamos os coeficientes:

Passo 8

Voltando à equação 1 = 3(-14) + b' 1 = -34 + b' b' = 1 + 34 b' = 74 e substituindo :

Passo 9

Portanto, a equação da reta que corta a primeira reta no ponto y = -14x + 74 é:

Resposta

  1. A equação da reta paralela que passa por é .
  2. A equação da reta que cruza a primeira reta em é .

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