Sejam S e T operadores lineares no \mathbb{R}^{2} definidas por T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x \\\\ 3 y\end{array}\right] e S\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2 y \\\ y\end{array}\right]. Determine:
2 S+4 T

Passo 1

O enunciado dá duas aplicações lineares em \mathbb{R}^2:
T\!\left(\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}x\\[4pt]3y\end{bmatrix}, \qquad S\!\left(\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}x+2y\\[4pt]y\end{bmatrix}.
E pede para determinar a aplicação linear 2S+4T. Ou seja, precisamos encontrar a regra que associa a cada vetor \begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix} o vetor (2S+4T)\!\left(\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\right), e se quisermos também sua matriz na base padrão.]

Passo 2

Lembrete importante (didático e curto): para operadores lineares S e T e escalares a,b vale a propriedade
(aS+bT)(v)=a\,S(v)+b\,T(v)
para todo vetor v. Isso decorre da linearidade: aplicar a combinação linear de operadores equivale a combinar linearmente as imagens dos vetores. Vamos usar exatamente isso para calcular (2S+4T)\!\left(\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\right).]

Passo 3

Primeiro reescrevemos as imagens individuais (já dadas pelo enunciado), só para ficar claro:
S\!\left(\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}x+2y\\[4pt]y\end{bmatrix}, \qquad T\!\left(\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}x\\[4pt]3y\end{bmatrix}.]

Passo 4

Multiplicamos cada imagem pelo respectivo escalar:
2\,S\!\left(\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\right)=2\cdot\begin{bmatrix}x+2y\\[4pt]y\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2x+4y\\[4pt]2y\end{bmatrix},
4\,T\!\left(\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\right)=4\cdot\begin{bmatrix}x\\[4pt]3y\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}4x\\[4pt]12y\end{bmatrix}.]

Passo 5

Somamos componente a componente para obter (2S+4T) aplicado ao vetor genérico:
(2S+4T)\!\left(\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\right) =\begin{bmatrix}2x+4y\\[4pt]2y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4x\\[4pt]12y\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}6x+4y\\[4pt]14y\end{bmatrix}.]

Passo 6

Agora vamos escrever a matriz de 2S+4T na base canônica \{e_1,e_2\} de \mathbb{R}^2. A matriz tem colunas iguais às imagens de e_1=\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\end{bmatrix} e e_2=\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\end{bmatrix}.
Usando a fórmula encontrada:
(2S+4T)(e_1)= (2S+4T)\!\left(\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}6\\[4pt]0\end{bmatrix},
(2S+4T)(e_2)= (2S+4T)\!\left(\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}4\\[4pt]14\end{bmatrix}.
Portanto a matriz da transformação na base padrão é
\begin{pmatrix}6 & 4\\[4pt]0 & 14\end{pmatrix},
pois multiplicando essa matriz por \begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix} obtemos \begin{bmatrix}6x+4y\\[4pt]14y\end{bmatrix}, que confere com a expressão anterior.]

Resposta

(2S+4T)\!\left(\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}6x+4y\\[4pt]14y\end{bmatrix}
Matriz na base padrão: \displaystyle \begin{pmatrix}6 & 4\\[4pt]0 & 14\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados