Sejam S e T operadores lineares no \mathbb{R}^{2} definidas por T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x \\\\ 3 y\end{array}\right] e S\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2 y \\\ y\end{array}\right]. Determine:
2 S+4 T
Passo 1
O enunciado dá duas aplicações lineares em \mathbb{R}^2:
E pede para determinar a aplicação linear 2S+4T. Ou seja, precisamos encontrar a regra que associa a cada vetor \begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix} o vetor (2S+4T)\!\left(\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\right), e se quisermos também sua matriz na base padrão.]
Passo 2
Lembrete importante (didático e curto): para operadores lineares S e T e escalares a,b vale a propriedade
(aS+bT)(v)=a\,S(v)+b\,T(v)
para todo vetor v. Isso decorre da linearidade: aplicar a combinação linear de operadores equivale a combinar linearmente as imagens dos vetores. Vamos usar exatamente isso para calcular (2S+4T)\!\left(\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\right).]
Passo 3
Primeiro reescrevemos as imagens individuais (já dadas pelo enunciado), só para ficar claro:
Agora vamos escrever a matriz de 2S+4T na base canônica \{e_1,e_2\} de \mathbb{R}^2. A matriz tem colunas iguais às imagens de e_1=\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\end{bmatrix} e e_2=\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\end{bmatrix}.
Usando a fórmula encontrada:
Portanto a matriz da transformação na base padrão é
\begin{pmatrix}6 & 4\\[4pt]0 & 14\end{pmatrix},
pois multiplicando essa matriz por \begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix} obtemos \begin{bmatrix}6x+4y\\[4pt]14y\end{bmatrix}, que confere com a expressão anterior.]