Sejam S e T operadores lineares no \mathbb{R}^{2} definidas por T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x \\\\ 3 y\end{array}\right] e S\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2 y \\\ y\end{array}\right]. Determine:
S+T
Passo 1
O enunciado dá dois operadores lineares S e T em \mathbb{R}^{2} e pede para determinar S+T. Informações fornecidas:
Pergunta: determinar explicitamente o operador S+T.]
Passo 2
Definição usada (explicação didática): a soma de dois operadores lineares S e T é outro operador linear (S+T) definido ponto a ponto por
(S+T)(v)=S(v)+T(v)
para todo vetor v. Aqui S(v)+T(v) é a soma usual de vetores em \mathbb{R}^{2}. Em palavras: para calcular (S+T) aplicamos S e T separadamente e somamos os resultados componente a componente.
Passo 3
Aplique a definição ao vetor genérico \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]. Primeiro escrevemos S e T nesse vetor (já estão no enunciado):
Representação matricial (explicação e cálculo): usando a base canônica e_{1}=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right], e_{2}=\left[\begin{array}{c}0\\[4pt]1\end{array}\right], as colunas da matriz de S+T são (S+T)(e_{1}) e (S+T)(e_{2}).
Calculemos:
e verifica-se que multiplicando essa matriz por \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right] obtemos a fórmula encontrada acima.]
Passo 6
Resumo final e dica rápida para a prova: para somar operadores lineares, sempre aplique cada operador ao vetor genérico e some componentes; se pedirem matriz, calcule as imagens dos vetores da base. Repita isso com calma na prova — funciona sempre.