Sejam S e T operadores lineares no \mathbb{R}^{2} definidas por T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x \\\\ 3 y\end{array}\right] e S\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2 y \\\ y\end{array}\right]. Determine:
S+T

Passo 1

O enunciado dá dois operadores lineares S e T em \mathbb{R}^{2} e pede para determinar S+T. Informações fornecidas:
T\!\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]3y\end{array}\right], \qquad S\!\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2y\\[4pt]y\end{array}\right].
Pergunta: determinar explicitamente o operador S+T.]

Passo 2

Definição usada (explicação didática): a soma de dois operadores lineares S e T é outro operador linear (S+T) definido ponto a ponto por
(S+T)(v)=S(v)+T(v)
para todo vetor v. Aqui S(v)+T(v) é a soma usual de vetores em \mathbb{R}^{2}. Em palavras: para calcular (S+T) aplicamos S e T separadamente e somamos os resultados componente a componente.

Passo 3

Aplique a definição ao vetor genérico \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]. Primeiro escrevemos S e T nesse vetor (já estão no enunciado):
S\!\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2y\\[4pt]y\end{array}\right],\qquad T\!\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]3y\end{array}\right].]

Passo 4

Somamos as componentes correspondentes (soma de vetores em \mathbb{R}^{2}):
primeira componente: (x+2y)+x = 2x+2y,
segunda componente: y+3y = 4y.
Portanto, para todo \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right],
(S+T)\!\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right) =\left[\begin{array}{c}2x+2y\\[4pt]4y\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}2(x+y)\\[4pt]4y\end{array}\right].]

Passo 5

Representação matricial (explicação e cálculo): usando a base canônica e_{1}=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right], e_{2}=\left[\begin{array}{c}0\\[4pt]1\end{array}\right], as colunas da matriz de S+T são (S+T)(e_{1}) e (S+T)(e_{2}).
Calculemos:
(S+T)(e_{1})=(S+T)\!\left(\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]0\end{array}\right], \qquad (S+T)(e_{2})=(S+T)\!\left(\left[\begin{array}{c}0\\[4pt]1\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]4\end{array}\right].
Logo a matriz de S+T na base canônica é
\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix},
e verifica-se que multiplicando essa matriz por \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right] obtemos a fórmula encontrada acima.]

Passo 6

Resumo final e dica rápida para a prova: para somar operadores lineares, sempre aplique cada operador ao vetor genérico e some componentes; se pedirem matriz, calcule as imagens dos vetores da base. Repita isso com calma na prova — funciona sempre.

Resposta

(S+T)\!\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}2x+2y\\[4pt]4y\end{array}\right]
Matriz de S+T na base canônica: \displaystyle \begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados