Sejam S e T operadores lineares no \mathbb{R}^{2} definidas por T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x \\\\ 3 y\end{array}\right] e S\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2 y \\\ y\end{array}\right]. Determine:
S \circ T

Passo 1

O enunciado pede determinar S\circ T. As informações dadas são:
T\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]3y\end{array}\right], \qquad S\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2y\\[4pt]y\end{array}\right].
Ou seja, para qualquer vetor \left[\begin{smallmatrix}x\y\end{smallmatrix}\right]\in\mathbb{R}^2 sabemos explicitamente como T e S agem.]

Passo 2

Vamos lembrar o que é composição de aplicações lineares: por definição
(S\circ T)(v)=S\big(T(v)\big).
Isto significa que primeiro aplico T ao vetor v e, em seguida, aplico S ao resultado. Uma dica prática: ordem importa — S\circ T é "faça T depois S". Também é útil representar operadores lineares por matrizes na base canônica; depois a composição corresponde ao produto de matrizes.

Passo 3

Calculo T aplicado a um vetor genérico \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]:
T\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]3y\end{array}\right].
Este passo é direto pelos dados do enunciado.]

Passo 4

Agora aplico S ao vetor obtido em T. Substituo \left[\begin{smallmatrix}x\\\ 3y\end{smallmatrix}\right] na definição de S:
S\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]3y\end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{c}x+2\cdot(3y)\\[4pt]3y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}x+6y\\[4pt]3y\end{array}\right].
Simplifiquei 2\cdot(3y)=6y. Portanto, para todo \left[\begin{smallmatrix}x\y\end{smallmatrix}\right],
(S\circ T)\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+6y\\[4pt]3y\end{array}\right].]

Passo 5

Para ver a forma matricial, escrevo as matrizes de T e S na base canônica. A matriz de T é
T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix},
pois T(e_1)=e_1 e T(e_2)=3e_2. A matriz de S é
S=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
pois S(e_1)=e_1 e S(e_2)=2e_1+e_2. A matriz da composição é o produto S\,T. Calculo entrada a entrada usando (S T)_{ij}=\sum_{k=1}^2 S_{ik}T_{kj}:
ST=\begin{pmatrix} 1\cdot1+2\cdot0 & 1\cdot0+2\cdot3\\[6pt] 0\cdot1+1\cdot0 & 0\cdot0+1\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 6\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}.
Isto coincide com o mapeamento que encontramos no passo anterior.]

Resposta

(S\circ T)\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+6y\\[4pt]3y\end{array}\right]
S\circ T=\begin{pmatrix}1 & 6\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}]

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