Encontre a dimensão e uma base para U, W, U \cap W e U+W.
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de V=\mathbb{R}^4 definidos por equações lineares e pede, para cada um deles e para suas combinações, a dimensão e uma base:
U é o conjunto de vetores de \mathbb{R}^4 que satisfazem a equação linear 3b+2c-d=0 (uma restrição).
W é o conjunto de vetores que satisfazem duas restrições lineares a-2b=0 e 0{,}5a+c+d=0.
Passo 2
Determinar \dim(U) e uma base de U.
Explicação do método (passo a passo e didático):
Uma equação linear entre as coordenadas impõe uma dependência, então o número de graus de liberdade é o número de coordenadas menos o número de equações independentes.
Aqui temos 4 coordenadas e 1 equação, portanto esperamos \dim(U)=4-1=3.
Para encontrar uma base, parametrize os vetores de U escolhendo variáveis livres e expressando a coordenada dependente pela equação.
Começando:
A condição de U é
3b+2c-d=0 \quad\Rightarrow\quad d=3b+2c.
Escreve-se um vetor genérico de U como
(a,b,c,d)=(a,b,c,3b+2c).
Agora separo em combinações lineares usando parâmetros a,b,c livres:
geram U. Vou justificar rapidamente que são linearmente independentes: uma combinação \alpha u_1+\beta u_2+\gamma u_3=0 dá sistema componente a componente \alpha=0,\\ \beta=0,\\ \gamma=0. Logo são independentes.
Conclusão deste passo:
\dim(U)=3.
Uma base de U é \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,3),\,(0,0,1,2)\}.
Passo 3
Determinar \dim(W) e uma base de W.
Explicação do método:
W é dado por duas equações lineares em 4 coordenadas, então esperamos \dim(W)=4-\text{(nº de equações independentes)}.
Aqui as duas equações parecem independentes, então \dim(W)=4-2=2.
Para evitar frações, multiplico o gerador por 4 e obtenho um vetor inteiro gerador:
v_0=(-6,-3,4,-1).
Posso também usar o seu oposto (6,3,-4,1); ambos geram o mesmo subespaço unidimensional.
Conclui-se que U\cap W é uma reta (dimensão 1) com base, por exemplo, \{(6,3,-4,1)\}.
Passo 5
Determinar [U+W): dimensão e uma base.
Usarei a fórmula padrão para dimensão da soma de subespaços:
\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).
Substituindo os valores que já encontramos:
\dim(U+W)=3+2-1=4.
Como o espaço ambiente V=\mathbb{R}^4 tem dimensão 4, segue que U+W=\mathbb{R}^4. Portanto qualquer base de \mathbb{R}^4 serve como base de U+W. Mas como eu prefiro mostrar uma base formada por vetores vindos de U e W, escolho os três vetores que já tenho de U
u_1=(1,0,0,0),\; u_2=(0,1,0,3),\; u_3=(0,0,1,2)
e acrescento um vetor de W que não esteja no span de u_1,u_2,u_3, por exemplo
w_1=(2,1,0,-1).
Mostro brevemente que \{u_1,u_2,u_3,w_1\} é linearmente independente. Suponha
Da terceira equação \gamma=0\]. Da segunda \(\beta=-\delta. Substituindo na quarta dá 3(-\delta)+0-\delta=-4\delta=0\Rightarrow\delta=0. Então \beta=\gamma=\delta=0 e \alpha=0. Logo são independentes e, como são 4 vetores em espaço de dimensão 4, formam uma base.
Conclusão deste passo:
\dim(U+W)=4 e U+W=\mathbb{R}^4.
Uma base conveniente é \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,3),\,(0,0,1,2),\,(2,1,0,-1)\} (pode-se usar qualquer base de \mathbb{R}^4).]
Resposta
\dim(U)=3, base de U:\\ \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,3),\,(0,0,1,2)\} \dim(W)=2, base de W:\\ \{(2,1,0,-1),\,(0,0,1,-1)\} \dim(U\cap W)=1, base de U\cap W:\\ \{(6,3,-4,1)\} \dim(U+W)=4, base de U+W:\\ \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,3),\,(0,0,1,2),\,(2,1,0,-1)\}