1. Sejam U e W os seguintes subespaços de V=\mathbb{R}^{4} :
\begin{array}{c} U=\{(a, b, c, d) \mid 3 b+2 c-d=0\} \\\ W=\{(a, b, c, d) \mid a-2 b=0,5 a+c+d=0\} . \end{array}
Encontre a dimensão e uma base para U, W, U \cap W e U+W.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de V=\mathbb{R}^4 definidos por equações lineares e pede, para cada um deles e para suas combinações, a dimensão e uma base:
  • U=\{(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4 \mid 3b+2c-d=0\}.
  • W=\{(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4 \mid a-2b=0,\; 0{,}5a+c+d=0\}.
Perguntas a responder:
  • Encontrar \dim(U) e uma base de U.
  • Encontrar \dim(W) e uma base de W.
  • Encontrar \dim(U\cap W) e uma base de U\cap W.
  • Encontrar \dim(U+W) e uma base de U+W.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • U é o conjunto de vetores de \mathbb{R}^4 que satisfazem a equação linear 3b+2c-d=0 (uma restrição).
  • W é o conjunto de vetores que satisfazem duas restrições lineares a-2b=0 e 0{,}5a+c+d=0.

Passo 2

Determinar \dim(U) e uma base de U.
Explicação do método (passo a passo e didático):
  • Uma equação linear entre as coordenadas impõe uma dependência, então o número de graus de liberdade é o número de coordenadas menos o número de equações independentes.
  • Aqui temos 4 coordenadas e 1 equação, portanto esperamos \dim(U)=4-1=3.
  • Para encontrar uma base, parametrize os vetores de U escolhendo variáveis livres e expressando a coordenada dependente pela equação.
Começando:
A condição de U é
3b+2c-d=0 \quad\Rightarrow\quad d=3b+2c.
Escreve-se um vetor genérico de U como
(a,b,c,d)=(a,b,c,3b+2c).
Agora separo em combinações lineares usando parâmetros a,b,c livres:
(a,b,c,3b+2c)=a(1,0,0,0)+b(0,1,0,3)+c(0,0,1,2).
Portanto os três vetores
u_1=(1,0,0,0),\quad u_2=(0,1,0,3),\quad u_3=(0,0,1,2)
geram U. Vou justificar rapidamente que são linearmente independentes: uma combinação \alpha u_1+\beta u_2+\gamma u_3=0 dá sistema componente a componente \alpha=0,\\ \beta=0,\\ \gamma=0. Logo são independentes.
Conclusão deste passo:
  • \dim(U)=3.
  • Uma base de U é \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,3),\,(0,0,1,2)\}.

Passo 3

Determinar \dim(W) e uma base de W.
Explicação do método:
  • W é dado por duas equações lineares em 4 coordenadas, então esperamos \dim(W)=4-\text{(nº de equações independentes)}ºçõ.
  • Aqui as duas equações parecem independentes, então \dim(W)=4-2=2.
  • Parametrizamos resolvendo as equações.
As equações de W são
a-2b=0 \quad\Rightarrow\quad a=2b,
e
0{,}5a+c+d=0.
Substituindo a=2b na segunda:
0{,}5\cdot(2b)+c+d=b+c+d=0 \quad\Rightarrow\quad d=-b-c.
Assim um vetor genérico de W é
(a,b,c,d)=(2b,b,c,-b-c)=b(2,1,0,-1)+c(0,0,1,-1).
Logo os dois vetores
w_1=(2,1,0,-1),\quad w_2=(0,0,1,-1)
geram W. Novamente, são claramente linearmente independentes (não há múltiplo entre eles).
Conclusão deste passo:
  • \dim(W)=2.
  • Uma base de W é \{(2,1,0,-1),\,(0,0,1,-1)\}.

Passo 4

Determinar U\cap W: dimensão e base.
Estratégia:
  • Um vetor em U\cap W deve satisfazer simultaneamente as restrições de W e de U.
  • Use a parametrização de W (com parâmetros b,c) e imponha a equação de U.
Pegando um vetor genérico de W:
v=b(2,1,0,-1)+c(0,0,1,-1)=(2b,b,c,-b-c).
Impondo a condição de U, 3b+2c-d=0. Substituindo d=-b-c obtém-se
3b+2c-(-b-c)=3b+2c+b+c=4b+3c=0.
Portanto 4b+3c=0\Rightarrow b=-\tfrac{3}{4}c. Tomando c=t como parâmetro livre, temos
b=-\tfrac{3}{4}t,\quad a=2b=-\tfrac{3}{2}t,\quad d=-b-c=\tfrac{3}{4}t-t=-\tfrac{1}{4}t.
Assim o vetor genérico do núcleo é
(-\tfrac{3}{2}t,\,-\tfrac{3}{4}t,\,t,\,-\tfrac{1}{4}t)=t\bigl(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{4},1,-\tfrac{1}{4}\bigr).
Para evitar frações, multiplico o gerador por 4 e obtenho um vetor inteiro gerador:
v_0=(-6,-3,4,-1).
Posso também usar o seu oposto (6,3,-4,1); ambos geram o mesmo subespaço unidimensional.
Conclui-se que U\cap W é uma reta (dimensão 1) com base, por exemplo, \{(6,3,-4,1)\}.

Passo 5

Determinar [U+W): dimensão e uma base.
Usarei a fórmula padrão para dimensão da soma de subespaços:
\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).
Substituindo os valores que já encontramos:
\dim(U+W)=3+2-1=4.
Como o espaço ambiente V=\mathbb{R}^4 tem dimensão 4, segue que U+W=\mathbb{R}^4. Portanto qualquer base de \mathbb{R}^4 serve como base de U+W. Mas como eu prefiro mostrar uma base formada por vetores vindos de U e W, escolho os três vetores que já tenho de U
u_1=(1,0,0,0),\; u_2=(0,1,0,3),\; u_3=(0,0,1,2)
e acrescento um vetor de W que não esteja no span de u_1,u_2,u_3, por exemplo
w_1=(2,1,0,-1).
Mostro brevemente que \{u_1,u_2,u_3,w_1\} é linearmente independente. Suponha
\alpha u_1+\beta u_2+\gamma u_3+\delta w_1=0.
Escrevendo componentes obtém-se o sistema
\begin{cases} \alpha+2\delta=0,\\[4pt] \beta+\delta=0,\\[4pt] \gamma=0,\\[4pt] 3\beta+2\gamma-\delta=0. \end{cases}
Da terceira equação \gamma=0\]. Da segunda \(\beta=-\delta. Substituindo na quarta dá 3(-\delta)+0-\delta=-4\delta=0\Rightarrow\delta=0. Então \beta=\gamma=\delta=0 e \alpha=0. Logo são independentes e, como são 4 vetores em espaço de dimensão 4, formam uma base.
Conclusão deste passo:
  • \dim(U+W)=4 e U+W=\mathbb{R}^4.
  • Uma base conveniente é \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,3),\,(0,0,1,2),\,(2,1,0,-1)\} (pode-se usar qualquer base de \mathbb{R}^4).]

Resposta

\dim(U)=3, base de U:\\ \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,3),\,(0,0,1,2)\}
\dim(W)=2, base de W:\\ \{(2,1,0,-1),\,(0,0,1,-1)\}
\dim(U\cap W)=1, base de U\cap W:\\ \{(6,3,-4,1)\}
\dim(U+W)=4, base de U+W:\\ \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,3),\,(0,0,1,2),\,(2,1,0,-1)\}

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