A pergunta é: existe uma combinação linear não trivial \alpha A+\beta B+\gamma C=0 (com escalares \alpha,\beta,\gamma nem todos zero)? Se sim, são linearmente dependentes; se só existe a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0, são linearmente independentes.]
Passo 2
Vamos transformar a questão num sistema linear em escalares. Explicando a ideia: o espaço das matrizes 2\times2 é um espaço vetorial de dimensão 4; podemos identificar cada matriz com um vetor em \mathbb{R}^4 “achapando” suas entradas (por exemplo, por linhas). Faço essa identificação explícita (pegando as entradas de cada matriz):
Logo a única solução do sistema é a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0. Isso significa que não existe combinação linear não-trivial que produza a matriz nula.
Passo 7
Pelo teorema da definição, como a única combinação linear que anula A,B,C é a trivial, as matrizes A,B,C são linearmente independentes no espaço das matrizes 2\times2.
Resposta
As matrizes A, B e C são linearmente independentes.