1. Determine se as seguintes matrizes A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\\\ -2 & -3\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{cc}13 & 7 \\\\ 4 & 0\end{array}\right] são linearmente dependentes ou independentes.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes 2\times2 e pede para decidir se elas são linearmente dependentes ou independentes. As matrizes fornecidas são:
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt]-2 & -3\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}13 & 7\\[4pt]4 & 0\end{pmatrix}.
A pergunta é: existe uma combinação linear não trivial \alpha A+\beta B+\gamma C=0 (com escalares \alpha,\beta,\gamma nem todos zero)? Se sim, são linearmente dependentes; se só existe a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0, são linearmente independentes.]

Passo 2

Vamos transformar a questão num sistema linear em escalares. Explicando a ideia: o espaço das matrizes 2\times2 é um espaço vetorial de dimensão 4; podemos identificar cada matriz com um vetor em \mathbb{R}^4 “achapando” suas entradas (por exemplo, por linhas). Faço essa identificação explícita (pegando as entradas de cada matriz):
v_A=(1,1,1,1),\qquad v_B=(0,3,-2,-3),\qquad v_C=(13,7,4,0),
onde a ordem das coordenadas é (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}). Agora procurar \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha v_A+\beta v_B+\gamma v_C=(0,0,0,0).

Passo 3

Escrevendo isso coordenada a coordenada obtemos o sistema de equações (cada linha corresponde a uma posição da matriz):
\begin{cases} \alpha + 0\beta + 13\gamma = 0,\\[4pt] \alpha + 3\beta + 7\gamma = 0,\\[4pt] \alpha -2\beta + 4\gamma = 0,\\[4pt] \alpha -3\beta + 0\gamma = 0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema passo a passo. Aqui \alpha,\beta,\gamma são as incógnitas (os coeficientes da combinação linear).]

Passo 4

Da última equação temos diretamente
\alpha - 3\beta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 3\beta.
Substituo isso na primeira equação:
\alpha + 13\gamma = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3\beta + 13\gamma = 0.
Dessa relação isolamos \beta:
\beta = -\dfrac{13}{3}\,\gamma.
Então \alpha = 3\beta = 3\left(-\dfrac{13}{3}\gamma\right) = -13\gamma.

Passo 5

Agora substituo \alpha e \beta em uma das equações restantes, por exemplo na segunda:
\alpha + 3\beta + 7\gamma = 0.
Substituindo \alpha=-13\gamma e \beta=-\dfrac{13}{3}\gamma obtemos
-13\gamma + 3\left(-\dfrac{13}{3}\gamma\right) + 7\gamma = -13\gamma -13\gamma +7\gamma = (-13-13+7)\gamma = -19\gamma.
Portanto
-19\gamma = 0 \quad\Longrightarrow\quad \gamma = 0.

Passo 6

Com \gamma=0 voltamos às expressões anteriores para \beta e \alpha:
\beta = -\dfrac{13}{3}\gamma = 0,\qquad \alpha = -13\gamma = 0.
Logo a única solução do sistema é a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0. Isso significa que não existe combinação linear não-trivial que produza a matriz nula.

Passo 7

Pelo teorema da definição, como a única combinação linear que anula A,B,C é a trivial, as matrizes A,B,C são linearmente independentes no espaço das matrizes 2\times2.

Resposta

As matrizes A, B e C são linearmente independentes.

Exercícios relacionados