O enunciado dá o sistema linear homogêneo com quatro incógnitas (x,y,z,t)\):
\[\begin{cases} x+y-z+t=0\\[4pt] x-y+z-t=0\\[4pt] 3x+y-z+t=0\\[4pt] 3x-y+z-t=0 \end{cases}
O que é pedido:
Encontrar a dimensão do espaço W\] das soluções desse sistema (ou seja, a dimensão do núcleo da matriz dos coeficientes).
- Encontrar uma base de \(W (ou seja, um conjunto de vetores que gere todas as soluções e seja linearmente independente).
As informações relevantes: as quatro equações acima e que é um sistema homogêneo (termos independentes todos iguais a zero).]
Passo 2
Vamos montar a matriz de coeficientes A do sistema (cada linha corresponde a uma equação, cada coluna a uma variável na ordem x,y,z,t):
Como é um sistema homogêneo, podemos fazer eliminação de Gauss na matriz A (sem coluna de termos independentes) para achar a forma escalonada e, a partir daí, o posto (rank) de A e as relações entre variáveis. Eliminação de Gauss significa usar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter zeros abaixo dos pivôs.
Aplico as operações passo a passo. Começo deixando a primeira linha como pivô:
\text{Linha 1 }(R_1)= (1\; 1\; -1\; 1).
Faço R_2\leftarrow R_2-R_1, R_3\leftarrow R_3-3R_1, R_4\leftarrow R_4-3R_1. Isso dá:
Agora simplifico a segunda linha multiplicando por -\tfrac{1}{2}: R_2\leftarrow -\tfrac{1}{2}R_2. E em seguida anulo o termo acima do pivô da segunda coluna: R_1\leftarrow R_1-R_2. O resultado é:
Esta é uma forma escalonada (próxima da forma reduzida). Observações importantes:
Há pivôs nas colunas 1 e 2 (colunas correspondentes a x e y).
As colunas 3 e 4 (variáveis z e t) são colunas sem pivô — são variáveis livres.
O posto (rank) da matriz A é o número de pivôs: \operatorname{rank}(A)=2.]
Passo 4
Usando o teorema do posto-nulidade (Rank–Nullity) para matrizes: se A é m\times n e \operatorname{rank}(A) é o posto, então a dimensão do núcleo (o espaço das soluções do sistema homogêneo A\mathbf{v}=0) é
\dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A),
onde n é o número de variáveis (colunas de A). Aqui n=4 (as variáveis \,x,y,z,t) e \operatorname{rank}(A)=2. Então
\dim(W)=\dim(\ker A)=4-2=2.
Passo 5
Agora encontro a solução geral a partir da forma escalonada. As equações correspondentes à forma escalonada são:
\begin{cases} x=0,\\[4pt] y - z + t = 0. \end{cases}
Como z e t são livres, escrevo
z=s,\qquad t=r,
onde s,r\in\mathbb{R} são parâmetros. A partir de y-z+t=0 obtemos y=z-t=s-r. E x=0. Logo a solução geral é
(x,y,z,t)=(0,\;s-r,\;s,\;r).
Escrevendo como combinação linear dos parâmetros s e r:
(0,\;s-r,\;s,\;r)=s\,(0,1,1,0)+r\,(0,-1,0,1).]
Passo 6
Assim, podemos tomar como base de W os dois vetores obtidos ao escolher (s,r)=(1,0) e (s,r)=(0,1). Esses vetores são:
Eles geram todas as soluções (qualquer solução é combinação linear deles) e são linearmente independentes (são dois vetores não múltiplos entre si num espaço de dimensão 2 de soluções), portanto formam uma base de W.
Resposta
\dim(W)=2
Uma base de W é \{(0,1,1,0),\;(0,-1,0,1)\}