Sejam os seguintes vetores:
\begin{aligned} & \vec{u}=(5,6,-4), \quad \vec{m}=(3,-2,-6) . \\\ & \vec{v}=(-5,3,-2), \quad \vec{n}=(1,-2,-4) . \\\ & \vec{w}=(\cos \alpha,-\operatorname{sen} \alpha,-1), \quad \vec{r}=(1, \cos \alpha, \operatorname{sen} \alpha) . \end{aligned}
Onde as funções \cos \alpha e senα são constantes. Encontrar o Produto Vetorial entre os seguintes vetores:
\vec{u} x \vec{v},

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores (peguei os componentes do enunciado):
\vec{u}=(5,6,-4),\qquad \vec{v}=(-5,3,-2).
A questão pede para encontrar o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição e a fórmula do produto vetorial em \mathbb{R}^3 (aula rápida, sem pânico).
  • Se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é o vetor
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Cada coordenada vem de uma combinação de produtos dos componentes: a primeira coordenada é a diferença entre o produto dos segundos e terceiros componentes, e assim por diante. Outra forma comum de decorar é usar o determinante formal com os vetores unitários \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.
O produto vetorial produz um vetor perpendicular a \vec{u} e a \vec{v} e cujo módulo é a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 3

Agora aplico a fórmula com os componentes dados. Primeiro identifico:
u_1=5,\quad u_2=6,\quad u_3=-4, \qquad v_1=-5,\quad v_2=3,\quad v_3=-2.
Calculo cada coordenada:
Primeira coordenada:
u_2v_3-u_3v_2 = 6\cdot(-2)-(-4)\cdot3 = -12 - (-12) = -12+12 = 0.
Segunda coordenada:
u_3v_1-u_1v_3 = (-4)\cdot(-5)-5\cdot(-2) = 20 - (-10) = 20+10 = 30.
Terceira coordenada:
u_1v_2-u_2v_1 = 5\cdot3-6\cdot(-5) = 15 - (-30) = 15+30 = 45.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=(0,30,45).

Passo 4

Pequenas verificações (úteis na prova para checar erros):
  1. Podemos fatorar um fator comum:
(0,30,45)=15\,(0,2,3).
  1. Verifico que o resultado é perpendicular a \vec{u} e a \vec{v} calculando produtos escalares:
\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=5\cdot0+6\cdot30+(-4)\cdot45=0+180-180=0,
\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=(-5)\cdot0+3\cdot30+(-2)\cdot45=0+90-90=0.
Como ambos deram zero, o vetor calculado é de fato ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}, o que aumenta a confiança de que os cálculos estão corretos.

Resposta

\vec{u}\times\vec{v}=(0,30,45)

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