Sejam os seguintes vetores:
\begin{aligned} & \vec{u}=(5,6,-4), \quad \vec{m}=(3,-2,-6) . \\\ & \vec{v}=(-5,3,-2), \quad \vec{n}=(1,-2,-4) . \\\ & \vec{w}=(\cos \alpha,-\operatorname{sen} \alpha,-1), \quad \vec{r}=(1, \cos \alpha, \operatorname{sen} \alpha) . \end{aligned}
Onde as funções \cos \alpha e senα são constantes. Encontrar o Produto Vetorial entre os seguintes vetores:
\vec{m} x \vec{v},

Passo 1

O enunciado pede: calcular o produto vetorial \vec{m}\times\vec{v}. Os dados fornecidos são os vetores:
\vec{m}=(3,-2,-6),\qquad \vec{v}=(-5,3,-2).
Então a tarefa é obter o vetor resultante do produto vetorial entre esses dois vetores em \mathbb{R}^3.

Passo 2

O que é o produto vetorial (intuitivamente e formula): o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} entre dois vetores em \mathbb{R}^3 é um vetor perpendicular a ambos \vec{a} e \vec{b}, com direção dada pela regra da mão direita e com magnitude igual à área do paralelogramo gerado por \vec{a} e \vec{b}. Em coordenadas, para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) os componentes do produto vetorial são dados por:
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Vou usar essa fórmula aplicada a \vec{m} e \vec{v}. Essa forma é simples para calcular na prova sem fazer determinantes complicados.

Passo 3

Identificar as componentes de \vec{m} e \vec{v} para aplicar a fórmula:
\vec{m}=(m_1,m_2,m_3)=(3,\,-2,\,-6), \qquad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)=(-5,\,3,\,-2).

Passo 4

Calcular a primeira componente (componente x):
(\vec{m}\times\vec{v})_1 = m_2 v_3 - m_3 v_2.
Substituindo os valores:
(\vec{m}\times\vec{v})_1 = (-2)\cdot(-2) - (-6)\cdot 3.
Agora as contas passo a passo:
(-2)\cdot(-2)=4,\qquad (-6)\cdot 3=-18,
portanto
(\vec{m}\times\vec{v})_1 = 4 - (-18) = 4 + 18 = 22.

Passo 5

Calcular a segunda componente (componente y):
(\vec{m}\times\vec{v})_2 = m_3 v_1 - m_1 v_3.
Substituindo:
(\vec{m}\times\vec{v})_2 = (-6)\cdot(-5) - 3\cdot(-2).
Fazendo as multiplicações:
(-6)\cdot(-5)=30,\qquad 3\cdot(-2)=-6,
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(\vec{m}\times\vec{v})_2 = 30 - (-6) = 30 + 6 = 36.

Passo 6

Calcular a terceira componente (componente z):
(\vec{m}\times\vec{v})_3 = m_1 v_2 - m_2 v_1.
Substituindo:
(\vec{m}\times\vec{v})_3 = 3\cdot 3 - (-2)\cdot(-5).
Multiplicações:
3\cdot 3 = 9,\qquad (-2)\cdot(-5)=10,
portanto
(\vec{m}\times\vec{v})_3 = 9 - 10 = -1.

Passo 7

Juntando as três componentes calculadas, obtemos:
\vec{m}\times\vec{v} = (22,\;36,\,-1).

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas útil para garantir que não houve erro): o produto vetorial deve ser perpendicular a \vec{m} e a \vec{v}. Basta checar os produtos escalares:
\vec{m}\cdot(\vec{m}\times\vec{v}) = 3\cdot22 + (-2)\cdot36 + (-6)\cdot(-1) = 66 -72 +6 = 0,
\vec{v}\cdot(\vec{m}\times\vec{v}) = (-5)\cdot22 + 3\cdot36 + (-2)\cdot(-1) = -110 +108 +2 = 0.
Os dois resultados são zero, então (22,36,-1) é de fato perpendicular a \vec{m} e \vec{v}, confirmando a resposta.

Resposta

\vec{m}\times\vec{v}=(22,36,-1)

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