Usando a definição do versor ou vetor unitário determinar \beta nos seguintes vetores e encontrar esses vetores:
\vec{m}=\left(2 \frac{2}{3}, \beta,-\frac{4}{5}\right).

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de versor (vetor unitário) para determinar o valor de \beta no vetor dado e “encontrar esses vetores”. Os dados fornecidos são:
  • O vetor \vec{m} tem componentes \left(2 \tfrac{2}{3},\,\beta,\,-\tfrac{4}{5}\right).
    As perguntas que vamos responder são:
  1. Qual(is) valor(es) de \beta fazem com que \vec{m} seja um versor (isto é, tenha norma igual a 1)?
  2. Caso exista(m), qual(is) é(são) o(s) vetor(es) unitário(s) correspondente(s)?
Observação prática: vou primeiro converter a componente mista 2\tfrac{2}{3} para fração imprópria para trabalhar com mais facilidade nas contas.

Passo 2

Relembrando a definição e a fórmula que vamos usar (aula rápida):
  • Um versor (vetor unitário) é um vetor cuja norma (comprimento) vale 1.
  • Para um vetor em \mathbb{R}^3 com componentes \left(x,y,z\right), a norma é dada por
\|\,(x,y,z)\,\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Portanto, a condição “é versor” equivale a
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Aqui cada variável representa a componente do vetor: x é a primeira componente, y a segunda (no nosso caso será \beta) e z a terceira componente.

Passo 3

Converter a primeira componente 2\tfrac{2}{3} para fração imprópria:
2\tfrac{2}{3}=2+\tfrac{2}{3}=\tfrac{6}{3}+\tfrac{2}{3}=\tfrac{8}{3}.
Portanto \vec{m}=\left(\tfrac{8}{3},\,\beta,\,-\tfrac{4}{5}\right).
Aplicando a condição de versor (norma igual a 1), escrevemos a equação:
\left(\tfrac{8}{3}\right)^{2}+\beta^{2}+\left(-\tfrac{4}{5}\right)^{2}=1.

Passo 4

Calcular os quadrados das componentes conhecidas:
\left(\tfrac{8}{3}\right)^{2}=\tfrac{64}{9}, \qquad \left(-\tfrac{4}{5}\right)^{2}=\tfrac{16}{25}.
Substituindo na equação obtemos:
\tfrac{64}{9}+\beta^{2}+\tfrac{16}{25}=1.
Isolando \beta^{2}:
\beta^{2}=1-\tfrac{64}{9}-\tfrac{16}{25}.

Passo 5

Somar as frações usando denominador comum 225 (pois 225=\operatorname{lcm}(9,25)):
1=\tfrac{225}{225},\qquad \tfrac{64}{9}=\tfrac{64\cdot25}{225}=\tfrac{1600}{225},\qquad \tfrac{16}{25}=\tfrac{16\cdot9}{225}=\tfrac{144}{225}.
Logo
\beta^{2}=\tfrac{225}{225}-\tfrac{1600}{225}-\tfrac{144}{225}=\tfrac{225-1600-144}{225}=\tfrac{-1519}{225}.
O numerador ficou negativo: \beta^{2}=-\tfrac{1519}{225}.
Interpretação: \beta^{2} deu um número negativo. Isso significa que não existe nenhum \beta real que satisfaça a condição \|\vec{m}\|=1. Em termos intuitivos, mesmo com \beta=0 a soma dos quadrados das outras componentes já ultrapassa 1: \tfrac{64}{9}+\tfrac{16}{25}\approx 7{,}75>1, portanto é impossível reduzir isso ajustando \beta real para que a soma seja 1.

Passo 6

Conclusões e caso estendido (complexos):
  • Se restringimos a \beta reais (caso usual em geometria vetorial), NÃO existe valor real de \beta que torne \vec{m} um versor.
  • Se for permitido considerar \beta complexo, então
\beta=\pm\sqrt{-\tfrac{1519}{225}}=\pm i\,\sqrt{\tfrac{1519}{225}}=\pm i\,\frac{\sqrt{1519}}{15}.
Fatorizando 1519=7^{2}\cdot31 obtém-se uma forma ligeiramente mais simples:
\beta=\pm i\,\frac{7\sqrt{31}}{15}.
Nesse caso complexo, os vetores correspondentes seriam \left(\tfrac{8}{3},\,\pm i\,\dfrac{7\sqrt{31}}{15},\,-\tfrac{4}{5}\right), que têm norma igual a 1 no sentido da norma Hermitiana apropriada (se a aplicação pedir números complexos).

Resposta

Não existe \beta real.
Se \beta puder ser complexo: \displaystyle \beta=\pm i\,\frac{7\sqrt{31}}{15}.

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