Usando a definição do versor ou vetor unitário determinar
nos seguintes vetores e encontrar esses vetores:
.
Passo 1
O enunciado pede para usar a definição de versor (vetor unitário) para determinar o valor de
no vetor dado e “encontrar esses vetores”. Os dados fornecidos são:
- O vetor
tem componentes .
As perguntas que vamos responder são:
- Qual(is) valor(es) de
fazem com que seja um versor (isto é, tenha norma igual a )? - Caso exista(m), qual(is) é(são) o(s) vetor(es) unitário(s) correspondente(s)?
Observação prática: vou primeiro converter a componente mista
para fração imprópria para trabalhar com mais facilidade nas contas.
Passo 2
Relembrando a definição e a fórmula que vamos usar (aula rápida):
- Um versor (vetor unitário) é um vetor cuja norma (comprimento) vale
. - Para um vetor em
com componentes , a norma é dada por
- Portanto, a condição “é versor” equivale a
Aqui cada variável representa a componente do vetor:
é a primeira componente,
a segunda (no nosso caso será
) e
a terceira componente.
Passo 3
Converter a primeira componente
para fração imprópria:
Portanto
.
Aplicando a condição de versor (norma igual a
), escrevemos a equação:
Passo 4
Calcular os quadrados das componentes conhecidas:
Substituindo na equação obtemos:
Isolando
:
Passo 5
Somar as frações usando denominador comum
(pois
):
Logo
O numerador ficou negativo:
.
Interpretação:
deu um número negativo. Isso significa que não existe nenhum
real que satisfaça a condição
. Em termos intuitivos, mesmo com
a soma dos quadrados das outras componentes já ultrapassa
:
, portanto é impossível reduzir isso ajustando
real para que a soma seja
.
Passo 6
Conclusões e caso estendido (complexos):
- Se restringimos a
reais (caso usual em geometria vetorial), NÃO existe valor real de que torne um versor. - Se for permitido considerar
complexo, então
Fatorizando
obtém-se uma forma ligeiramente mais simples:
Nesse caso complexo, os vetores correspondentes seriam
, que têm norma igual a
no sentido da norma Hermitiana apropriada (se a aplicação pedir números complexos).
Resposta
Não existe
real.
Se puder ser complexo:
.
Se