2.2.1 Sejam (a) e (b) sequências convergentes de números reais, com
e
. Mostre que, se
,
, então
. Generalize o item (b) da proposição 2.15,
Proposicar 2.15:
Seja
uma sequência com limite I.
(a) Se
(resp.
),
, então
(Hesp.
).
Proposicar 2.15:
Seja
(a) Se
Passo 1
O enunciado dá duas sequências reais convergentes
e
com
e afirma que
para todo
.
Pede-se que mostremos que então .
Além disso, pede-se uma generalização do item (b) da proposição 2.15 (a proposição já dada no enunciado afirma em (a) que se (resp.
) para todo
então o limite satisfaz
(resp.
)).
Pede-se que mostremos que então
Além disso, pede-se uma generalização do item (b) da proposição 2.15 (a proposição já dada no enunciado afirma em (a) que se
Resumo do que temos:
- Dados:
, . - Hipótese:
para todo . - Objetivo 1: provar
. - Objetivo 2: generalizar o item (b) — isto será explicado e formulado claramente mais adiante.
Passo 2
Lembrando a definição de limite de sequência (vamos mastigar bem): dizer que
significa que
De modo análogo,
significa
Isto é, a definição diz que os termos
ficam arbitrariamente próximos de
quando
é grande, e o mesmo para
e
.
Passo 3
Estratégia útil (muito comum): provar por contradição. Suponha, para chegar a um absurdo, que a desigualdade desejada não vale; isto é, suponha que
Se
, então a diferença
é um número positivo. Vamos escolher um
relacionado a essa diferença para usar a definição de limite.
Passo 4
Escolha
Observe que
por hipótese
. Pela convergência de
existe
tal que
e pela convergência de
existe
tal que
Tomando
, essas duas desigualdades valem simultaneamente para todo
.
Passo 5
Agora transforme as desigualdades em formas úteis. Para
:
- De
obtemos
- De
obtemos
Substituindo
calcula-se
Passo 6
Assim, para todo
temos as duas cadeias
Combinando-as resulta
Em particular, para esses
temos
.
Passo 7
Mas isso contradiz a hipótese inicial de que
para todo
(porque encontramos índices grandes
com
). A contradição veio da suposição
. Portanto a suposição está errada e devemos ter
Isto conclui a prova do primeiro item.
Passo 8
Agora a generalização pedida (relacionada ao item (b) da proposição 2.15). Uma formulação natural e útil é a seguinte (esta é a versão que costuma aparecer em textos e é prática em provas):
Generalização 1 (desigualdade “eventual”):
Sejam e
. Se existe
tal que
Sejam
então
.
Explicação rápida: a prova é idêntica à anterior — só que se a desigualdade falhar em um número finito de termos iniciais isso não importa, pois o comportamento do limite é determinado pelos termos com
grande; basta aplicar a argumentação anterior aos
.
Passo 9
Outra aplicação da mesma ideia para o item (a) da proposição 2.15 (a generalização direta) é:
Generalização 2 (limite e desigualdades “eventuais” com constante):
Se e existe
tal que
para todo
(resp.
para todo
), então
(resp.
).
Se
Novamente a prova usa a definição de limite com
caso
e chega-se a contradição como antes — ou prova diretamente que valores de
ficam próximos de
e, como são
para
grande, isso força
.
Passo 10
Observações finais intuitivas e exemplos rápidos para fixar:
- Intuição: se toda etapa da sequência
está abaixo de , então o “ponto onde elas se aproximam” (os limites) também não pode inverter a ordem. - Exemplo: se
e , então e os limites são , ; de fato (igualdade permitida). - Note que desigualdades estritas não se transferem necessariamente aos limites: ter
para todo não implica (podem ter o mesmo limite), mas ter (ou eventualmente) garante .
Resposta
Se existe
tal que
para todo
, então
.
(Analogamente, se para todo
então
; e se
para todo
então
.)
(Analogamente, se