2.2.1 Sejam (a) e (b) sequências convergentes de números reais, com
\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a e \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b. Mostre que, se a_{n} \leqslant b_{n}, \forall n \in \mathbb{N}, então a \leqslant b. Generalize o item (b) da proposição 2.15,
Proposicar 2.15:
Seja \left(a_{n}\right) uma sequência com limite I.
(a) Se a_{n} \geqslant a (resp. a_{n} \leqslant a ), \forall n \in \mathbb{N}, então l \geqslant a (Hesp. l \leqslant a).

Passo 1

O enunciado dá duas sequências reais convergentes \left(a_n\right) e \left(b_n\right) com
\lim_{n\to\infty} a_n = a \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty} b_n = b,
e afirma que a_n \leqslant b_n para todo n\in\mathbb{N}.
Pede-se que mostremos que então a \leqslant b.
Além disso, pede-se uma generalização do item (b) da proposição 2.15 (a proposição já dada no enunciado afirma em (a) que se a_n\geqslant c (resp. a_n\leqslant c) para todo n então o limite satisfaz l\geqslant c (resp. l\leqslant c)).
Resumo do que temos:
  • Dados: \left(a_n\right)\to a, \left(b_n\right)\to b.
  • Hipótese: a_n \leqslant b_n para todo n.
  • Objetivo 1: provar a \leqslant b.
  • Objetivo 2: generalizar o item (b) — isto será explicado e formulado claramente mais adiante.

Passo 2

Lembrando a definição de limite de sequência (vamos mastigar bem): dizer que \lim_{n\to\infty} a_n = a significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }N_1\in\mathbb{N}\text{ tal que }|a_n-a|<\varepsilon\text{ para todo }n\ge N_1.
De modo análogo, \lim_{n\to\infty} b_n = b significa
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }N_2\in\mathbb{N}\text{ tal que }|b_n-b|<\varepsilon\text{ para todo }n\ge N_2.
Isto é, a definição diz que os termos a_n ficam arbitrariamente próximos de a quando n é grande, e o mesmo para b_n e b.

Passo 3

Estratégia útil (muito comum): provar por contradição. Suponha, para chegar a um absurdo, que a desigualdade desejada não vale; isto é, suponha que
a > b.
Se a>b, então a diferença a-b é um número positivo. Vamos escolher um \varepsilon relacionado a essa diferença para usar a definição de limite.

Passo 4

Escolha
\varepsilon = \frac{a-b}{2}.
Observe que \varepsilon>0 por hipótese a>b. Pela convergência de \left(a_n\right) existe N_1 tal que
|a_n-a|<\varepsilon\quad\text{para todo }n\ge N_1,
e pela convergência de \left(b_n\right) existe N_2 tal que
|b_n-b|<\varepsilon\quad\text{para todo }n\ge N_2.
Tomando N=\max\{N_1,N_2\}, essas duas desigualdades valem simultaneamente para todo n\ge N.

Passo 5

Agora transforme as desigualdades em formas úteis. Para n\ge N:
  • De |a_n-a|<\varepsilon obtemos
a-\varepsilon < a_n < a+\varepsilon.
  • De |b_n-b|<\varepsilon obtemos
b-\varepsilon < b_n < b+\varepsilon.
Substituindo \varepsilon=\dfrac{a-b}{2} calcula-se
a-\varepsilon = a-\frac{a-b}{2} = \frac{a+b}{2}, \qquad b+\varepsilon = b+\frac{a-b}{2} = \frac{a+b}{2}.

Passo 6

Assim, para todo n\ge N temos as duas cadeias
a_n > a-\varepsilon = \frac{a+b}{2} \qquad\text{e}\qquad b_n < b+\varepsilon = \frac{a+b}{2}.
Combinando-as resulta
a_n > \frac{a+b}{2} > b_n\qquad\text{para todo }n\ge N.
Em particular, para esses n temos a_n> b_n.

Passo 7

Mas isso contradiz a hipótese inicial de que a_n \leqslant b_n para todo n (porque encontramos índices grandes n com a_n>b_n). A contradição veio da suposição a>b. Portanto a suposição está errada e devemos ter
a \leqslant b.
Isto conclui a prova do primeiro item.

Passo 8

Agora a generalização pedida (relacionada ao item (b) da proposição 2.15). Uma formulação natural e útil é a seguinte (esta é a versão que costuma aparecer em textos e é prática em provas):
Generalização 1 (desigualdade “eventual”):
Sejam \left(a_n\right)\to a e \left(b_n\right)\to b. Se existe N_0\in\mathbb{N} tal que
a_n \leqslant b_n\quad\text{para todo }n\ge N_0,
então a \leqslant b.
Explicação rápida: a prova é idêntica à anterior — só que se a desigualdade falhar em um número finito de termos iniciais isso não importa, pois o comportamento do limite é determinado pelos termos com n grande; basta aplicar a argumentação anterior aos n\ge \max\{N_0,N_1,N_2\}.

Passo 9

Outra aplicação da mesma ideia para o item (a) da proposição 2.15 (a generalização direta) é:
Generalização 2 (limite e desigualdades “eventuais” com constante):
Se \left(a_n\right)\to l e existe N_0 tal que a_n\ge c para todo n\ge N_0 (resp. a_n\le c para todo n\ge N_0), então l\ge c (resp. l\le c).
Novamente a prova usa a definição de limite com \varepsilon=(l-c)/2 caso l<c e chega-se a contradição como antes — ou prova diretamente que valores de a_n ficam próximos de l e, como são \ge c para n grande, isso força l\ge c.

Passo 10

Observações finais intuitivas e exemplos rápidos para fixar:
  • Intuição: se toda etapa da sequência a_n está abaixo de b_n, então o “ponto onde elas se aproximam” (os limites) também não pode inverter a ordem.
  • Exemplo: se a_n = \frac{1}{n} e b_n = \frac{2}{n}, então a_n\le b_n e os limites são a=0, b=0; de fato a\le b (igualdade permitida).
  • Note que desigualdades estritas não se transferem necessariamente aos limites: ter a_n < b_n para todo n não implica a<b (podem ter o mesmo limite), mas ter a_n\le b_n (ou eventualmente) garante a\le b.

Resposta

a \leqslant b
Se existe N_0 tal que a_n \leqslant b_n para todo n\ge N_0, então a \leqslant b.
(Analogamente, se a_n\ge c para todo n\ge N_0 então \lim a_n \ge c; e se a_n\le c para todo n\ge N_0 então \lim a_n \le c.)

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