Sejam X_{1} \sim N(2,3), X_{2} \sim N(2,4), X_{3} \sim N(4,4) e X_{4} \sim N(4,2) v.a independentes. Calcular P\left(10 \leq X_{1}+2 X_{2}+X_{3}+X_{4} \leq 14\right).
\text { R. } 0,2881 .

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade da soma linear das quatro variáveis aleatórias cair entre dois valores. Especificamente, queremos calcular
P\bigl(10 \leq X_{1}+2X_{2}+X_{3}+X_{4} \leq 14\bigr).
As informações dadas (todas importantes) são:
X_{1}\sim N(2,3),\quad X_{2}\sim N(2,4),\quad X_{3}\sim N(4,4),\quad X_{4}\sim N(4,2),
e as quatro variáveis são independentes. Note que em cada notação N(\mu,\sigma^{2}) o primeiro parâmetro é a média \mu e o segundo é a variância \sigma^{2}. A expressão que aparece dentro da probabilidade é a variável aleatória
S = X_{1}+2X_{2}+X_{3}+X_{4}.

Passo 2

A primeira coisa que precisamos é a média de S. Vou relembrar a regra que usamos: a esperança (média) é linear. Ou seja, para quaisquer constantes a,b e v.a. Y,Z,
E[aY+bZ]=aE[Y]+bE[Z].
Aqui podemos aplicar isso diretamente a cada termo de S.

Passo 3

Aplicando a linearidade da esperança em S:
E[S]=E[X_{1}]+2E[X_{2}]+E[X_{3}]+E[X_{4}].
Substituindo as médias dadas ( E[X_{1}]=2, E[X_{2}]=2, E[X_{3}]=4, E[X_{4}]=4):
E[S]=2 + 2\cdot 2 + 4 + 4 = 2 + 4 + 4 + 4 = 14.
Resultado: a média de S é \,14.

Passo 4

Agora precisamos da variância de S. Duas regras essenciais:
  1. Varianza de uma constante vezes uma v.a.: \mathrm{Var}(aY)=a^{2}\mathrm{Var}(Y).
  2. Se Y e Z são independentes, \mathrm{Var}(Y+Z)=\mathrm{Var}(Y)+\mathrm{Var}(Z) (porque as covariâncias são zero).
    Como as quatro v.a. são independentes, podemos somar as variâncias dos termos, lembrando do quadrado nos coeficientes.

Passo 5

Calculemos \mathrm{Var}(S):
\mathrm{Var}(S)=\mathrm{Var}(X_{1})+4\mathrm{Var}(X_{2})+\mathrm{Var}(X_{3})+\mathrm{Var}(X_{4}).
Substituindo as variâncias dadas ( \mathrm{Var}(X_{1})=3, \mathrm{Var}(X_{2})=4, \mathrm{Var}(X_{3})=4, \mathrm{Var}(X_{4})=2):
\mathrm{Var}(S)=3 + 4\cdot 4 + 4 + 2 = 3 + 16 + 4 + 2 = 25.
Portanto o desvio-padrão de S é \sigma_{S}=\sqrt{25}=5.

Passo 6

Fato importante (e muito útil): combinação linear de variáveis normais independentes é também normal. Assim S segue uma normal com média e variância calculadas:
S \sim N\bigl(14,\,25\bigr).
Isso significa que podemos transformar o problema para a normal padrão Z\sim N(0,1) e usar tabelas ou valores conhecidos.

Passo 7

Padronizamos a desigualdade. Se S\sim N(14,25), então
P(10 \le S \le 14)=P\!\left(\frac{10-14}{5} \le \frac{S-14}{5} \le \frac{14-14}{5}\right).
Definindo Z=\dfrac{S-14}{5}\sim N(0,1), obtemos os valores z das extremidades:
\frac{10-14}{5} = -\frac{4}{5} = -0,8,\qquad \frac{14-14}{5}=0.
Portanto
P(10 \le S \le 14)=P(-0,8 \le Z \le 0).

Passo 8

Usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, chamada \Phi. Temos
P(-0,8 \le Z \le 0)=\Phi(0)-\Phi(-0,8).
Usamos a identidade \Phi(-a)=1-\Phi(a) para a>0. Assim
\Phi(0)-\Phi(-0,8)=\Phi(0)-\bigl(1-\Phi(0,8)\bigr)=\Phi(0,8)-\bigl(1-\Phi(0)\bigr).
Sabendo que \Phi(0)=0,5, isso simplifica para
P(-0,8 \le Z \le 0)=\Phi(0,8)-0,5.
Da tabela da normal padrão ou de uma calculadora sabemos \Phi(0,8)\approx 0,7881446. Subtraindo:
P(-0,8 \le Z \le 0)\approx 0,7881446 - 0,5 = 0,2881446.
Arredondando para quatro casas decimais (como no enunciado): 0,2881.

Passo 9

Resumo final rápido do raciocínio para a prova: calcular média e variância da soma linear usando linearidade da esperança e regra da variância para independentes; reconhecer que a combinação é normal; padronizar e usar a tabela da normal padrão. Não se esqueça de cuidar do quadrado nos coeficientes ao computar variância (por ex. 2X_{2} 4\mathrm{Var}(X_{2})).

Resposta

0,2881

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