Sejam
e
v.a independentes. Calcular
.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade da soma linear das quatro variáveis aleatórias cair entre dois valores. Especificamente, queremos calcular
As informações dadas (todas importantes) são:
e as quatro variáveis são independentes. Note que em cada notação
o primeiro parâmetro é a média
e o segundo é a variância
. A expressão que aparece dentro da probabilidade é a variável aleatória
Passo 2
A primeira coisa que precisamos é a média de
. Vou relembrar a regra que usamos: a esperança (média) é linear. Ou seja, para quaisquer constantes
e v.a.
,
Aqui podemos aplicar isso diretamente a cada termo de
.
Passo 3
Aplicando a linearidade da esperança em
:
Substituindo as médias dadas (
,
,
,
):
Resultado: a média de
é
.
Passo 4
Agora precisamos da variância de
. Duas regras essenciais:
- Varianza de uma constante vezes uma v.a.:
. - Se
e são independentes, (porque as covariâncias são zero).
Como as quatro v.a. são independentes, podemos somar as variâncias dos termos, lembrando do quadrado nos coeficientes.
Passo 5
Calculemos
:
Substituindo as variâncias dadas (
,
,
,
):
Portanto o desvio-padrão de
é
.
Passo 6
Fato importante (e muito útil): combinação linear de variáveis normais independentes é também normal. Assim
segue uma normal com média e variância calculadas:
Isso significa que podemos transformar o problema para a normal padrão
e usar tabelas ou valores conhecidos.
Passo 7
Padronizamos a desigualdade. Se
, então
Definindo
, obtemos os valores
das extremidades:
Portanto
Passo 8
Usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, chamada
. Temos
Usamos a identidade
para
. Assim
Sabendo que
, isso simplifica para
Da tabela da normal padrão ou de uma calculadora sabemos
. Subtraindo:
Arredondando para quatro casas decimais (como no enunciado):
.
Passo 9
Resumo final rápido do raciocínio para a prova: calcular média e variância da soma linear usando linearidade da esperança e regra da variância para independentes; reconhecer que a combinação é normal; padronizar e usar a tabela da normal padrão. Não se esqueça de cuidar do quadrado nos coeficientes ao computar variância (por ex.
dá
).