\checkmark Seja \mathrm{A}_{1}=\{ estudantes da turma A de Modelos Probabilísticos \}, A_{2}=\{ estudantes da turma B\} e A_{3} = {estudantes da turma C}. Sabe-se que a turma A têm 41 estudantes, a turma B tem 38 e a turma C, 39. Seja B=\{ estudantes com média 10} e sabendose que \mathrm{P}\left(\mathrm{B} \mid \mathrm{A}_{1}\right)=8 / 100, \mathrm{P}\left(\mathrm{B} \mid \mathrm{A}_{2}\right)=5 / 100 e \mathrm{P}\left(\mathrm{B} \mid \mathrm{A}_{3}\right)= 4/100, calcule a probabilidade de um aluno com média 10 escolhido aleatoriamente ser da turma A.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de que um aluno com média 10 escolhido aleatoriamente seja da turma A. Ou seja, queremos \mathrm{P}\big(\mathrm{A}_1 \mid \mathrm{B}\big), onde \mathrm{A}_1 = estudantes da turma A e \mathrm{B} = estudantes com média 10.
Informações fornecidas:
\begin{aligned} &\text{tamanho da turma A: }41,\\\ &\text{tamanho da turma B: }38,\\\ &\text{tamanho da turma C: }39,\\\ &\mathrm{P}\big(\mathrm{B}\mid \mathrm{A}_1\big)=\frac{8}{100},\\\ &\mathrm{P}\big(\mathrm{B}\mid \mathrm{A}_2\big)=\frac{5}{100},\\\ &\mathrm{P}\big(\mathrm{B}\mid \mathrm{A}_3\big)=\frac{4}{100}. \end{aligned}
Total de alunos (peguei somando os tamanhos das turmas): 41+38+39=118.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as probabilidades a priori (antes de saber que o aluno tem média 10) de pertencer a cada turma. Essas priors vêm da fração do total que cada turma representa.
\mathrm{P}(\mathrm{A}_1)=\frac{41}{118},\qquad \mathrm{P}(\mathrm{A}_2)=\frac{38}{118},\qquad \mathrm{P}(\mathrm{A}_3)=\frac{39}{118}.
Explicação rápida: a priori, se escolhemos um aluno aleatoriamente de todas as turmas juntas, a probabilidade dele ser de \mathrm{A}_1 é o número de alunos de \mathrm{A}_1 dividido pelo total.

Passo 3

Agora preciso da probabilidade de escolher um aluno com média 10 (evento \mathrm{B}). Uso a lei da probabilidade total:
\mathrm{P}(\mathrm{B})=\sum_{i=1}^{3}\mathrm{P}(\mathrm{B}\mid \mathrm{A}_i)\,\mathrm{P}(\mathrm{A}_i).
Vou calcular cada termo \mathrm{P}(\mathrm{B}\cap \mathrm{A}_i)=\mathrm{P}(\mathrm{B}\mid \mathrm{A}_i)\mathrm{P}(\mathrm{A}_i) e somar.
\begin{aligned} \mathrm{P}(\mathrm{B}\cap \mathrm{A}_1)&=\frac{8}{100}\cdot\frac{41}{118}=\frac{328}{11800},\\[4pt] \mathrm{P}(\mathrm{B}\cap \mathrm{A}_2)&=\frac{5}{100}\cdot\frac{38}{118}=\frac{190}{11800},\\[4pt] \mathrm{P}(\mathrm{B}\cap \mathrm{A}_3)&=\frac{4}{100}\cdot\frac{39}{118}=\frac{156}{11800}. \end{aligned}
Somando:
\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{328+190+156}{11800}=\frac{674}{11800}.
Posso simplificar \frac{674}{11800} dividindo por 2:
\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{337}{5900}.]

Passo 4

Agora aplico o Teorema de Bayes para obter \mathrm{P}(\mathrm{A}_1\mid \mathrm{B}):
\mathrm{P}(\mathrm{A}_1\mid \mathrm{B})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{B}\mid \mathrm{A}_1)\mathrm{P}(\mathrm{A}_1)}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}.
Já calculei o numerador como \mathrm{P}(\mathrm{B}\cap\mathrm{A}_1)=\frac{328}{11800} e \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{337}{5900}. Substituindo:
\mathrm{P}(\mathrm{A}_1\mid \mathrm{B})=\frac{\dfrac{328}{11800}}{\dfrac{337}{5900}}.

Passo 5

Simplifico a expressão. Note que \dfrac{328}{11800}=\dfrac{41}{1475} (dividindo numerador e denominador por 8) e \dfrac{337}{5900} está já simplificado. Então
\mathrm{P}(\mathrm{A}_1\mid \mathrm{B})=\frac{\dfrac{41}{1475}}{\dfrac{337}{5900}}=\frac{41}{1475}\cdot\frac{5900}{337}.
Repare que \dfrac{5900}{1475}=4, portanto
\mathrm{P}(\mathrm{A}_1\mid \mathrm{B})=\frac{41\cdot 4}{337}=\frac{164}{337}.

Passo 6

Interpretação numérica (aproximação): calculando a fração,
\frac{164}{337}\approx 0,48635.
Isso significa que, dado que um aluno tem média 10, a probabilidade dele ser da turma A é aproximadamente 48{,}6\%. Força aí — quase metade das notas 10 vêm da turma A segundo esses dados!

Resposta

\dfrac{164}{337}\approx 0,48635

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