\checkmark Em uma empresa de tecnologia, 45% dos funcionários participam do programa de bemestar, 70% estão inscritos em treinamentos de capacitação e 30% aderiram a ambos. Se um funcionário for sorteado, qual a probabilidade de ele estar participando de:
a) ao menos um dos programas?
b) exatamente um dos dois programas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as probabilidades solicitadas. Dados (peguei os números do enunciado):
\mathrm{P}(\text{bem-estar})=45\%=0,45
\mathrm{P}(\text{treinamento})=70\%=0,70
\mathrm{P}(\text{ambos})=30\%=0,30
Perguntas:
(a) Qual a probabilidade de o funcionário estar participando de ao menos um dos programas?
(b) Qual a probabilidade de o funcionário estar participando de exatamente um dos dois programas?

Passo 2

Vamos definir eventos e o que cada termo significa (com calma, como num mapa mental):
Seja A o evento “participa do programa de bem-estar” e B o evento “está inscrito em treinamentos”.
  • \mathrm{P}(A) é a probabilidade de A ocorrer (aqui \mathrm{P}(A)=0,45).
  • \mathrm{P}(B) é a probabilidade de B ocorrer (aqui \mathrm{P}(B)=0,70).
  • \mathrm{P}(A\cap B) é a probabilidade dos dois ocorrerem ao mesmo tempo, ou seja, “ambos” (aqui \mathrm{P}(A\cap B)=0,30).
    “Ocorre ao menos um dos programas” significa A\cup B (união): participa de A ou de B ou de ambos.
    “Exatamente um dos dois” significa que participa só de A ou só de B, mas não dos dois.

Passo 3

Fórmula chave (princípio da contagem/inclusão-exclusão): para quaisquer dois eventos A e B,
\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B).
Intuição simples: somamos os que estão em A e os que estão em B, mas quem está em ambos ficou contado duas vezes, então subtraímos \mathrm{P}(A\cap B) uma vez para corrigir.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números dados:
\mathrm{P}(A\cup B)=0,45+0,70-0,30.
Fazendo a conta passo a passo:
0,45+0,70=1,15,
1,15-0,30=0,85.
Portanto, a probabilidade de participar de ao menos um dos programas é 0,85, isto é, 85\%.

Passo 5

Agora “exatamente um dos dois”. Podemos escrever isso como soma das partes exclusivas:
\mathrm{P}(\text{exatamente um})=\mathrm{P}(A\setminus B)+\mathrm{P}(B\setminus A).
Usando que \mathrm{P}(A\setminus B)=\mathrm{P}(A)-\mathrm{P}(A\cap B) e \mathrm{P}(B\setminus A)=\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B), temos
\mathrm{P}(\text{exatamente um})=\mathrm{P}(A)-\mathrm{P}(A\cap B)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B).
Simplificando:
\mathrm{P}(\text{exatamente um})=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-2\mathrm{P}(A\cap B).
(Alternativa equivalente: \mathrm{P}(\text{exatamente um})=\mathrm{P}(A\cup B)-\mathrm{P}(A\cap B).)

Passo 6

Substituindo os valores:
\mathrm{P}(\text{exatamente um})=0,45+0,70-2\cdot0,30.
Calculando passo a passo:
0,45+0,70=1,15,
2\cdot0,30=0,60,
1,15-0,60=0,55.
Portanto, a probabilidade de participar de exatamente um dos programas é 0,55, isto é, 55\%.

Resposta

(a) 85\%
(b) 55\%

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