Em uma empresa de tecnologia, 45% dos funcionários participam do programa de bemestar, 70% estão inscritos em treinamentos de capacitação e 30% aderiram a ambos. Se um funcionário for sorteado, qual a probabilidade de ele estar participando de:
a) ao menos um dos programas?
b) exatamente um dos dois programas?
a) ao menos um dos programas?
b) exatamente um dos dois programas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as probabilidades solicitadas. Dados (peguei os números do enunciado):
Perguntas:
(a) Qual a probabilidade de o funcionário estar participando de ao menos um dos programas?
(b) Qual a probabilidade de o funcionário estar participando de exatamente um dos dois programas?
(a) Qual a probabilidade de o funcionário estar participando de ao menos um dos programas?
(b) Qual a probabilidade de o funcionário estar participando de exatamente um dos dois programas?
Passo 2
Vamos definir eventos e o que cada termo significa (com calma, como num mapa mental):
Seja o evento “participa do programa de bem-estar” e
o evento “está inscrito em treinamentos”.
Seja
-
é a probabilidade de ocorrer (aqui ). -
é a probabilidade de ocorrer (aqui ). -
é a probabilidade dos dois ocorrerem ao mesmo tempo, ou seja, “ambos” (aqui ).
“Ocorre ao menos um dos programas” significa(união): participa de ou de ou de ambos.
“Exatamente um dos dois” significa que participa só deou só de , mas não dos dois.
Passo 3
Fórmula chave (princípio da contagem/inclusão-exclusão): para quaisquer dois eventos
e
,
Intuição simples: somamos os que estão em
e os que estão em
, mas quem está em ambos ficou contado duas vezes, então subtraímos
uma vez para corrigir.
Passo 4
Aplicando a fórmula com os números dados:
Fazendo a conta passo a passo:
Portanto, a probabilidade de participar de ao menos um dos programas é
, isto é,
.
Passo 5
Agora “exatamente um dos dois”. Podemos escrever isso como soma das partes exclusivas:
Usando que
e
, temos
Simplificando:
(Alternativa equivalente:
.)
Passo 6
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
Portanto, a probabilidade de participar de exatamente um dos programas é
, isto é,
.
Resposta
(a)
(b)
(b)