1. Sejam os sinais x(t)=\left\{\begin{array}{c}2 ; 0 \leq t<1 \\\\ -2 ; 1 \leq t<2 \\\\ 0, t \geq 2 \text { e } t<0\end{array}\right. e z(t)=x(t), para 0 \leq t<2 sendo que
    z(t)=z(t+2) para todo t. Utilize a teoria de Fourier para representar os sinais z(t) e x(t) no domínio da frequência. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá um sinal x(t)\) definido por trechos e um sinal \(z(t)\) que é a extensão periódica de \(x(t)\) com período \(T=2\). Especificamente: - \(x(t)=\begin{cases}2, & 0 \le t<1,\\[4pt]-2, & 1 \le t<2,\\[4pt]0, & t<0\\ \text{e}\\ t\ge 2.\end{cases}
  • z(t)=x(t) para 0\le t<2 e z(t+2)=z(t) para todo t (ou seja, z(t) é a extensão periódica de x(t) com período T=2).
O que se pede:
  • Representar z(t) no domínio da frequência (usar teoria de Fourier — ou seja, séries de Fourier ou equivalente).
  • Representar x(t) no domínio da frequência (transformada de Fourier).
  • Justificar a relação entre as representações (porque z é a repetição periódica de x).
Lista das informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O suporte de x(t) é [0,2) (sinal de duração finita).
  • O período de z(t) é T=2, logo \omega_0=\dfrac{2\pi}{T}=\pi.
  • O enunciado pede formas no domínio da frequência (portanto: \mathcal{F}\{x(t)\}=X(\omega) e a representação espectral de z(t)).]

Passo 2

Definição e cálculo da transformada de Fourier de x(t).
Explicação curta: a transformada de Fourier de um sinal de tempo contínuo x(t) é
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt,
onde \omega é a frequência angular (rad/s). Aqui x(t) é não nulo apenas em 0\le t<2, então a integral reduz-se a dois intervalos onde x(t) é constante.
Escrevendo a integral:
X(\omega)=\int_{0}^{1} 2\,e^{-j\omega t}\,dt \;+\; \int_{1}^{2} (-2)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Calcule cada integral passo a passo. Para \omega\ne 0,
\int_{0}^{1} e^{-j\omega t}\,dt=\frac{1-e^{-j\omega}}{j\omega}, \qquad \int_{1}^{2} e^{-j\omega t}\,dt=\frac{e^{-j\omega}-e^{-j2\omega}}{j\omega}.
Multiplicando pelos coeficientes 2 e -2 e somando:
X(\omega)=2\cdot\frac{1-e^{-j\omega}}{j\omega}-2\cdot\frac{e^{-j\omega}-e^{-j2\omega}}{j\omega} =\frac{2}{j\omega}\big(1-2e^{-j\omega}+e^{-j2\omega}\big).
Repare que 1-2e^{-j\omega}+e^{-j2\omega}=(1-e^{-j\omega})^2. Logo uma forma compacta é
X(\omega)=\frac{2}{j\omega}\,\big(1-e^{-j\omega}\big)^2.
Podemos também usar identidades trigonométricas para escrever numa forma envolvendo \sin. Usando 1-e^{-j\omega}=e^{-j\omega/2}\cdot 2j\sin(\omega/2), obtemos
X(\omega)=\frac{2}{j\omega}\,e^{-j\omega}\,(2j\sin(\tfrac{\omega}{2}))^2 =\frac{8j\,e^{-j\omega}\,\sin^2(\tfrac{\omega}{2})}{\omega}.
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é direta da integração, a segunda ajuda a ver amplitude e fase.
Observação para \omega=0: pode-se tomar o limite \omega\to 0 de X(\omega) ou calcular \int x(t)dt=0, logo X(0)=0. (Isto também aparece da forma compacta.)

Passo 3

Definição das séries de Fourier para z(t) (sinal periódico).
Explicação: para um sinal periódico de período T temos a série de Fourier complexa
z(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\,e^{j k \omega_0 t}, \qquad c_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} z(t)\,e^{-j k \omega_0 t}\,dt,
com \omega_0=\dfrac{2\pi}{T}. Aqui T=2 e \omega_0=\pi. Vamos calcular c_k.
Calcule c_k separando os dois trechos em 0\le t<1 e 1\le t<2:
c_k=\frac{1}{2}\Big(\int_{0}^{1} 2e^{-j k\pi t}\,dt+\int_{1}^{2}(-2)e^{-j k\pi t}\,dt\Big).
Para k\ne 0 as integrais são do tipo \int e^{-j k\pi t}dt. Calculando como fizemos antes (substituindo \omega=k\pi) obtemos
c_k=\frac{2}{j k\pi}\big(1-e^{-j k\pi}\big).
Para k=0 usamos diretamente média sobre um período:
c_0=\frac{1}{2}\left(\int_0^1 2\,dt+\int_1^2 (-2)\,dt\right)=\frac{1}{2}(2-2)=0.
Agora simplificamos usando e^{-j k\pi}=(-1)^k. Então
c_k=\frac{2}{j k\pi}\big(1-(-1)^k\big).
Isto implica:
  • Se k é par então 1-(-1)^k=0 e c_k=0.
  • Se k é ímpar então 1-(-1)^k=2 e
c_k=\frac{4}{j k\pi},\qquad (k\\ \text{ímpar}).í
Comentário didático: o fato de só aparecerem harmônicos ímpares é típico de sinais com simetrias (aqui sinal retangular alternando +2 e -2).

Passo 4

Expressão do sinal z(t)\) pela série de Fourier (duas formas equivalentes). Forma complexa: \[z(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\,e^{j k\pi t},\qquad c_k=\begin{cases}\dfrac{4}{j k\pi}, & k\\ \text{ímpar},\\[4pt]0, & k\\ \text{par}.\end{cases}
Forma real (série em senos). Explicação: como c_{-k}=c_k^*\] e os \(c_k são puramente imaginários para índices ímpares, ao combinar termos k e -k obtemos senos reais. Fazendo as contas:
para k=2m+1 (ímpar positivo),
c_{2m+1}=\frac{4}{j(2m+1)\pi}=-j\frac{4}{(2m+1)\pi}.
Somando c_{2m+1}e^{j(2m+1)\pi t}+c_{-(2m+1)}e^{-j(2m+1)\pi t}=2\Re\{c_{2m+1}e^{j(2m+1)\pi t}\} leva a termos proporcionais a \sin((2m+1)\pi t). O resultado é
z(t)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{8}{(2m+1)\pi}\,\sin\big((2m+1)\pi t\big).
Isto é uma série de senos contendo apenas harmônicos ímpares, coeficientes caindo como 1/(2m+1).
Observação sobre convergência: nos pontos de descontinuidade a série converge para a média dos limites laterais (fenômeno de Gibbs). Isso é normal para séries de Fourier de funções com saltos.]

Passo 5

Representação de z(t) no domínio da frequência (espectro em impulsos).
Explicação teórica: a transformada de Fourier de um sinal periódico z(t) é uma soma de impulsos em frequências harmônicas:
\mathcal{F}\{z(t)\}=Z(\omega)=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\,\delta(\omega-k\omega_0).
Substituindo \omega_0=\pi e os c_k encontrados:
Z(\omega)=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\,\delta(\omega-k\pi) =2\pi\sum_{\substack{k=-\infty\k\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{4}{j k\pi}\,\delta(\omega-k\pi).
Podemos simplificar o fator 2\pi\cdot\frac{4}{j k\pi}=\frac{8}{j k}. Assim, escrevendo apenas sobre harmônicos ímpares:
Z(\omega)=\sum_{\substack{k=-\infty\k\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{8}{j k}\,\delta(\omega-k\pi).
Ou, de forma compacta e geral,
Z(\omega)=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\,\delta(\omega-k\pi), \qquad c_k=\begin{cases}\dfrac{4}{j k\pi}, & k\\ \text{ímpar},\\[4pt]0, & k\\ \text{par}.\end{cases}í]

Passo 6

Relação entre X(\omega) e os coeficientes c_k (checagem e interpretação física).
Se z(t) é a repetição periódica de x(t) com período T, então vale a relação
c_k=\frac{1}{T} \int_0^T x(t)\,e^{-j k\omega_0 t}\,dt=\frac{1}{T}X(k\omega_0),
ou seja, os coeficientes da série são amostras da transformada de x(t) nos harmônicos: c_k=\dfrac{1}{2}X(k\pi). Isso é exatamente o que encontramos: avaliando X(\omega)=\dfrac{2}{j\omega}(1-e^{-j\omega})^2 em \omega=k\pi X(k\pi)=\dfrac{8}{j k\pi} para k ímpar (zero para k par), e dividindo por T=2 obtemos c_k=\dfrac{4}{j k\pi} para k ímpar. Portanto a transformada contínua X(\omega) contém toda a informação e os coeficientes de z são amostras de X(\omega) em \omega=k\omega_0.
Físicamente: repetir x(t) no tempo gera um espectro discreto (impulsos) na frequência; a amplitude de cada impulso é proporcional à amostra X(k\omega_0).

Resposta

[X(\omega)=\dfrac{2}{j\omega}\big(1-e{-j\omega}\big)2=\dfrac{8j,e{-j\omega}\sin2!\big(\tfrac{\omega}{2}\big)}{\omega}.)
(Z(\omega)=2\pi\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k,\delta(\omega-k\pi),\quad c_k= \begin{cases}\dfrac{4}{j k\pi}, & k\\ \text{ímpar},\\[4pt]0, & k\\ \text{par}.\end{cases}í]]

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