Sejam os sinais x(t)=\left\{\begin{array}{c}2 ; 0 \leq t<1 \\\\ -2 ; 1 \leq t<2 \\\\ 0, t \geq 2 \text { e } t<0\end{array}\right. e z(t)=x(t), para 0 \leq t<2 sendo que z(t)=z(t+2) para todo t. Utilize a teoria de Fourier para representar os sinais z(t) e x(t) no domínio da frequência. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá um sinal x(t)\) definido por trechos e um sinal \(z(t)\) que é a extensão periódica de \(x(t)\) com período \(T=2\). Especificamente:
- \(x(t)=\begin{cases}2, & 0 \le t<1,\\[4pt]-2, & 1 \le t<2,\\[4pt]0, & t<0\\ \text{e}\\ t\ge 2.\end{cases}
z(t)=x(t) para 0\le t<2 e z(t+2)=z(t) para todo t (ou seja, z(t) é a extensão periódica de x(t) com período T=2).
O que se pede:
Representar z(t) no domínio da frequência (usar teoria de Fourier — ou seja, séries de Fourier ou equivalente).
Representar x(t) no domínio da frequência (transformada de Fourier).
Justificar a relação entre as representações (porque z é a repetição periódica de x).
Lista das informações relevantes extraídas do enunciado:
O suporte de x(t) é [0,2) (sinal de duração finita).
O período de z(t) é T=2, logo \omega_0=\dfrac{2\pi}{T}=\pi.
O enunciado pede formas no domínio da frequência (portanto: \mathcal{F}\{x(t)\}=X(\omega) e a representação espectral de z(t)).]
Passo 2
Definição e cálculo da transformada de Fourier de x(t).
Explicação curta: a transformada de Fourier de um sinal de tempo contínuo x(t) é
onde \omega é a frequência angular (rad/s). Aqui x(t) é não nulo apenas em 0\le t<2, então a integral reduz-se a dois intervalos onde x(t) é constante.
Podemos também usar identidades trigonométricas para escrever numa forma envolvendo \sin. Usando 1-e^{-j\omega}=e^{-j\omega/2}\cdot 2j\sin(\omega/2), obtemos
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é direta da integração, a segunda ajuda a ver amplitude e fase.
Observação para \omega=0: pode-se tomar o limite \omega\to 0 de X(\omega) ou calcular \int x(t)dt=0, logo X(0)=0. (Isto também aparece da forma compacta.)
Passo 3
Definição das séries de Fourier para z(t) (sinal periódico).
Explicação: para um sinal periódico de período T temos a série de Fourier complexa
z(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\,e^{j k \omega_0 t}, \qquad c_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} z(t)\,e^{-j k \omega_0 t}\,dt,
com \omega_0=\dfrac{2\pi}{T}. Aqui T=2 e \omega_0=\pi. Vamos calcular c_k.
Calcule c_k separando os dois trechos em 0\le t<1 e 1\le t<2:
Agora simplificamos usando e^{-j k\pi}=(-1)^k. Então
c_k=\frac{2}{j k\pi}\big(1-(-1)^k\big).
Isto implica:
Se k é par então 1-(-1)^k=0 e c_k=0.
Se k é ímpar então 1-(-1)^k=2 e
c_k=\frac{4}{j k\pi},\qquad (k\\ \text{ímpar}).í
Comentário didático: o fato de só aparecerem harmônicos ímpares é típico de sinais com simetrias (aqui sinal retangular alternando +2 e -2).
Passo 4
Expressão do sinal z(t)\) pela série de Fourier (duas formas equivalentes).
Forma complexa:
\[z(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\,e^{j k\pi t},\qquad c_k=\begin{cases}\dfrac{4}{j k\pi}, & k\\ \text{ímpar},\\[4pt]0, & k\\ \text{par}.\end{cases}
Forma real (série em senos). Explicação: como c_{-k}=c_k^*\] e os \(c_k são puramente imaginários para índices ímpares, ao combinar termos k e -k obtemos senos reais. Fazendo as contas:
Somando c_{2m+1}e^{j(2m+1)\pi t}+c_{-(2m+1)}e^{-j(2m+1)\pi t}=2\Re\{c_{2m+1}e^{j(2m+1)\pi t}\} leva a termos proporcionais a \sin((2m+1)\pi t). O resultado é
Isto é uma série de senos contendo apenas harmônicos ímpares, coeficientes caindo como 1/(2m+1).
Observação sobre convergência: nos pontos de descontinuidade a série converge para a média dos limites laterais (fenômeno de Gibbs). Isso é normal para séries de Fourier de funções com saltos.]
Passo 5
Representação de z(t) no domínio da frequência (espectro em impulsos).
Explicação teórica: a transformada de Fourier de um sinal periódico z(t) é uma soma de impulsos em frequências harmônicas:
Relação entre X(\omega) e os coeficientes c_k (checagem e interpretação física).
Se z(t) é a repetição periódica de x(t) com período T, então vale a relação
ou seja, os coeficientes da série são amostras da transformada de x(t) nos harmônicos: c_k=\dfrac{1}{2}X(k\pi). Isso é exatamente o que encontramos: avaliando X(\omega)=\dfrac{2}{j\omega}(1-e^{-j\omega})^2 em \omega=k\pi dá X(k\pi)=\dfrac{8}{j k\pi} para k ímpar (zero para k par), e dividindo por T=2 obtemos c_k=\dfrac{4}{j k\pi} para k ímpar. Portanto a transformada contínua X(\omega) contém toda a informação e os coeficientes de z são amostras de X(\omega) em \omega=k\omega_0.
Físicamente: repetir x(t) no tempo gera um espectro discreto (impulsos) na frequência; a amplitude de cada impulso é proporcional à amostraX(k\omega_0).