1. Seja o sinal x(t)=3 e^{2 t} u(-t)-3 e^{-2 t} u(t). Identifique as expressões matemáticas que definem o espectro do sinal. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=3 e^{2 t} u(-t)-3 e^{-2 t} u(t).
O que se pede: identificar as expressões matemáticas que definem o espectro do sinal (ou seja, a Transformada de Fourier X(\omega) do sinal) e justificar por que essas expressões valem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • u(t) é a função degrau unitário; portanto u(t)=1 para t\ge 0 e u(t)=0 para t<0.
  • Assim u(-t)=1 para t\le 0 e u(-t)=0 para t>0.
  • O sinal é a soma de duas partes com suporte em semirretas opostas:
    • x_1(t)=3 e^{2t} u(-t), que existe só para t\le 0.
    • x_2(t)=-3 e^{-2t} u(t), que existe só para t\ge 0.

Passo 2

Definição e ideia-chave que vou usar (mini-aula):
A Transformada de Fourier de um sinal x(t) é definida por
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Aqui \omega é a frequência angular (em rad/s) e j é a unidade imaginária. Para calcular o espectro de x(t) aplicamos essa integral. Se x(t) for soma de termos, a transformada linearmente é soma das transformadas de cada termo.
Também vamos usar duas integrais-padrão (explicadas):
  • Para \alpha com \operatorname{Re}(\alpha)>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt=\frac{1}{\alpha}.
  • Para \beta com \operatorname{Re}(\beta)>0,
\int_{-\infty}^{0} e^{\beta t}\,dt=\frac{1}{\beta},
porque a mudança de variável mostra que é equivalente à integral acima. Essas fórmulas garantem convergência se a parte real do expoente fizer o exponencial decair no infinito apropriado.

Passo 3

Verificação de convergência (por que a transformada existe):
  • Para x_1(t)=3 e^{2t} u(-t): a integral relevante é \int_{-\infty}^{0} 3 e^{2t} e^{-j\omega t}\,dt=\int_{-\infty}^{0} 3 e^{(2-j\omega)t}\,dt. Aqui \operatorname{Re}(2-j\omega)=2>0, então quando t\to -\infty o fator e^{(2-j\omega)t}\to 0. Logo a integral converge para todo \omega.
  • Para x_2(t)=-3 e^{-2t} u(t): a integral é \int_{0}^{\infty} -3 e^{-2t} e^{-j\omega t}\,dt=\int_{0}^{\infty} -3 e^{-(2+j\omega)t}\,dt. Aqui \operatorname{Re}(2+j\omega)=2>0, logo a integral também converge para todo \omega.
    Portanto a Transformada de Fourier existe para todo \omega.

Passo 4

Calcular a transformada do primeiro termo x_1(t)=3 e^{2t} u(-t).
Escrevo a integral:
X_1(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} 3 e^{2t} u(-t)\,e^{-j\omega t}\,dt =3\int_{-\infty}^{0} e^{(2-j\omega)t}\,dt.
Usando a fórmula padrão para \int_{-\infty}^{0} e^{\beta t}\,dt com \beta=2-j\omega (e \operatorname{Re}(\beta)=2>0), obtemos
X_1(\omega)=3\cdot\frac{1}{2-j\omega}=\frac{3}{2-j\omega}.
Expliquei porque: a integral é \big[ e^{(2-j\omega)t}/(2-j\omega)\big]_{t=-\infty}^{0}. No limite t\to -\infty o termo some e em t=0 vale 1.

Passo 5

Calcular a transformada do segundo termo x_2(t)=-3 e^{-2t} u(t).
Escrevo a integral:
X_2(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} -3 e^{-2t} u(t)\,e^{-j\omega t}\,dt =-3\int_{0}^{\infty} e^{-(2+j\omega)t}\,dt.
Usando a fórmula padrão \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt=1/\alpha com \alpha=2+j\omega (e \operatorname{Re}(\alpha)=2>0), obtemos
X_2(\omega)=-3\cdot\frac{1}{2+j\omega}=-\frac{3}{2+j\omega}.

Passo 6

Somar as duas contribuições (linearidade):
X(\omega)=X_1(\omega)+X_2(\omega)=\frac{3}{2-j\omega}-\frac{3}{2+j\omega}.
Agora simplifico a expressão para uma forma única. Coloco em denominador comum:
X(\omega)=3\left(\frac{1}{2-j\omega}-\frac{1}{2+j\omega}\right) =3\left(\frac{2+j\omega-(2-j\omega)}{(2-j\omega)(2+j\omega)}\right).
O numerador fica 2+j\omega-2+j\omega=2j\omega. O denominador é 4+\omega^2. Assim
X(\omega)=3\cdot\frac{2 j\omega}{4+\omega^2}=\frac{6 j\omega}{4+\omega^2}.

Passo 7

Interpretação breve (ajuda para a prova):
  • A transformada final é
X(\omega)=\frac{6 j\omega}{4+\omega^2}.
  • Observações úteis: X(\omega) é puramente imaginária (multiplicada por j) e é função ímpar de \omega (isto é, X(-\omega)=-X(\omega)), porque o sinal x(t) também é ímpar? (pode verificar que x(-t)=-x(t)). Essas propriedades ajudam a checar erros rápidos na prova.
  • Em muitos exercícios é útil lembrar os resultados padrão:
    • \mathcal{F}\{e^{-a t}u(t)\}=\dfrac{1}{a+j\omega} para \operatorname{Re}(a)>0.
    • \mathcal{F}\{e^{a t}u(-t)\}=\dfrac{1}{a-j\omega} para \operatorname{Re}(a)>0.
      Aplicando essas fórmulas com os fatores constantes chega-se direto ao resultado acima.

Resposta

X(\omega)=\frac{6 j\omega}{4+\omega^2}

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