- Seja o sinal
. Identifique as expressões matemáticas que definem o espectro do sinal. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o sinal
O que se pede: identificar as expressões matemáticas que definem o espectro do sinal (ou seja, a Transformada de Fourier
do sinal) e justificar por que essas expressões valem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é a função degrau unitário; portanto para e para . - Assim
para e para . - O sinal é a soma de duas partes com suporte em semirretas opostas:
-
, que existe só para . -
, que existe só para .
-
Passo 2
Definição e ideia-chave que vou usar (mini-aula):
A Transformada de Fourier de um sinal é definida por
A Transformada de Fourier de um sinal
Aqui
é a frequência angular (em rad/s) e
é a unidade imaginária. Para calcular o espectro de
aplicamos essa integral. Se
for soma de termos, a transformada linearmente é soma das transformadas de cada termo.
Também vamos usar duas integrais-padrão (explicadas):
- Para
com ,
- Para
com ,
porque a mudança de variável mostra que é equivalente à integral acima. Essas fórmulas garantem convergência se a parte real do expoente fizer o exponencial decair no infinito apropriado.
Passo 3
Verificação de convergência (por que a transformada existe):
- Para
: a integral relevante é . Aqui , então quando o fator . Logo a integral converge para todo . - Para
: a integral é . Aqui , logo a integral também converge para todo .
Portanto a Transformada de Fourier existe para todo.
Passo 4
Calcular a transformada do primeiro termo
.
Escrevo a integral:
Usando a fórmula padrão para
com
(e
), obtemos
Expliquei porque: a integral é
. No limite
o termo some e em
vale
.
Passo 5
Calcular a transformada do segundo termo
.
Escrevo a integral:
Usando a fórmula padrão
com
(e
), obtemos
Passo 6
Somar as duas contribuições (linearidade):
Agora simplifico a expressão para uma forma única. Coloco em denominador comum:
O numerador fica
. O denominador é
. Assim
Passo 7
Interpretação breve (ajuda para a prova):
- A transformada final é
- Observações úteis:
é puramente imaginária (multiplicada por ) e é função ímpar de (isto é, ), porque o sinal também é ímpar? (pode verificar que ). Essas propriedades ajudam a checar erros rápidos na prova. - Em muitos exercícios é útil lembrar os resultados padrão:
-
para . -
para .
Aplicando essas fórmulas com os fatores constantes chega-se direto ao resultado acima.
-