1. Seja um sinal periódico x(t), com seus coeficientes não nulos da série exponencial de Fourier dados por: D o=-3 ; D_{1}=D_{-1}^{*}=3 e^{-\frac{j \pi}{4}} ; D_{4}=D_{-4}^{*}=-2+j 2. Represente o sinal na forma abaixo e identifique o valor médio e o periodo fundamental do sinal. Assuma a frequência da 4^{a} harmônica igual a 12 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{seg}.
x(t)=C_{o}+\sum_{n=1}^{\infty} C_{n} \cdot \cos \left(n w_{0} \cdot t+\varphi_{n}\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda). Informações do enunciado:
  • Coeficientes da série exponencial de Fourier (peguei do enunciado):
    • D_{0}=-3.
    • D_{1}=3e^{-j\pi/4} e D_{-1}=D_{1}^{*}=3e^{j\pi/4}.
    • D_{4}=-2+j2 e D_{-4}=D_{4}^{*}=-2-j2.
    • Todos os outros D_{n} são nulos.
  • A frequência da 4^{\text{a}} harmônica é \;12\pi\\ \text{rad/s} (ou seja, \omega_{4}=12\pi\\ \text{rad/s}).
O enunciado pede:
  1. Representar x(t) na forma
x(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} C_{n}\cdot\cos\big(n\omega_{0}t+\varphi_{n}\big).
  1. Identificar o valor médio (termo DC) do sinal.
  2. Identificar o período fundamental do sinal.

Passo 2

Explicando a relação entre a forma exponencial e a forma em cosseno (a parte teórica necessária, passo a passo e didática).
A série exponencial de Fourier para um sinal real pode ser escrita como
x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}D_{n}\,e^{j n\omega_{0}t}.
Quando o sinal é real, os coeficientes satisfazem D_{-n}=D_{n}^{*}. A forma em cosseno (amplitude-fase) é
x(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\cos\big(n\omega_{0}t+\varphi_{n}\big).
Usando a identidade de Euler,
C_{n}\cos\big(n\omega_{0}t+\varphi_{n}\big) = \frac{C_{n}}{2}e^{j\varphi_{n}}e^{j n\omega_{0}t} + \frac{C_{n}}{2}e^{-j\varphi_{n}}e^{-j n\omega_{0}t}.
Comparando termo a termo com a forma exponencial, para n>0 tem-se
D_{n}=\frac{C_{n}}{2}e^{j\varphi_{n}},\qquad D_{-n}=\frac{C_{n}}{2}e^{-j\varphi_{n}}.
Logo, para n>0,
C_{n}=2|D_{n}| \qquad\text{e}\qquad \varphi_{n}=\arg(D_{n}),
onde |D_{n}| é o módulo do número complexo D_{n} e \arg(D_{n}) é sua fase (ângulo), tomado no intervalo conveniente (por exemplo (-\pi,\pi]). O termo DC da forma exponencial é D_{0}; isto corresponde ao C_{0} da forma cosseno, ou seja
C_{0}=D_{0}.

Passo 3

Determinar a frequência angular fundamental \omega_{0} e o período T_{0} a partir da informação sobre a 4ª harmônica.
Pela definição da harmônica n-ésima tem-se \omega_{n}=n\omega_{0}. O enunciado deu \omega_{4}=12\pi\\ \text{rad/s}. Assim,
4\omega_{0}=12\pi \quad\Rightarrow\quad \omega_{0}=\frac{12\pi}{4}=3\pi\\ \text{rad/s}.
O período fundamental é
T_{0}=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=\frac{2\pi}{3\pi}=\frac{2}{3}\\ \text{s}.

Passo 4

Determinar o termo DC C_{0}.
Pelo passo 2 temos C_{0}=D_{0}. Portanto
C_{0}= -3.

Passo 5

Calcular C_{1} e \varphi_{1} a partir de D_{1}=3e^{-j\pi/4}.
  • Módulo de D_{1}:
|D_{1}|=|3e^{-j\pi/4}|=3.
  • Logo
C_{1}=2|D_{1}|=2\cdot 3=6.
  • Fase de D_{1}:
\varphi_{1}=\arg(D_{1})=-\frac{\pi}{4}.
Portanto o termo correspondente é 6\cos\big(\omega_{0}t-\tfrac{\pi}{4}\big).

Passo 6

Calcular C_{4} e \varphi_{4} a partir de D_{4}=-2+j2.
  • Primeiro o módulo:
|D_{4}|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
  • Então
C_{4}=2|D_{4}|=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}.
  • Agora a fase \varphi_{4}=\arg(-2+j2). O número complexo -2+j2 está no segundo quadrante, e seu ângulo é
\varphi_{4}=\operatorname{atan2}(2,-2)=\pi-\arctan(1)=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.
Portanto o termo correspondente é 4\sqrt{2}\cos\big(4\omega_{0}t+\tfrac{3\pi}{4}\big).

Passo 7

Reunir tudo e escrever x(t) na forma solicitada, lembrando que apenas os harmônicos n=1 e n=4 aparecem (os demais têm coeficiente nulo).
Com \omega_{0}=3\pi\\ \text{rad/s} temos 4\omega_{0}=12\pi\\ \text{rad/s}. Assim a representação é
x(t)=C_{0}+C_{1}\cos\big(\omega_{0}t+\varphi_{1}\big)+C_{4}\cos\big(4\omega_{0}t+\varphi_{4}\big),
onde os valores calculados são C_{0}=-3, C_{1}=6, \varphi_{1}=-\tfrac{\pi}{4}, C_{4}=4\sqrt{2}, \varphi_{4}=\tfrac{3\pi}{4}.

Resposta

x(t)=-3+6\cos\!\big(3\pi t-\tfrac{\pi}{4}\big)+4\sqrt{2}\cos\!\big(12\pi t+\tfrac{3\pi}{4}\big)
\text{Valor médio: }C_{0}=-3é
\text{Período fundamental: }T_{0}=\tfrac{2}{3}\\ \text{s}í

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