- Seja um sinal periódico
, com seus coeficientes não nulos da série exponencial de Fourier dados por:
. Represente o sinal na forma abaixo e identifique o valor médio e o periodo fundamental do sinal. Assuma a frequência da
harmônica igual a
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda). Informações do enunciado:
- Coeficientes da série exponencial de Fourier (peguei do enunciado):
-
. -
e . -
e . - Todos os outros
são nulos.
-
- A frequência da
harmônica é (ou seja, ).
O enunciado pede:
- Representar
na forma
- Identificar o valor médio (termo DC) do sinal.
- Identificar o período fundamental do sinal.
Passo 2
Explicando a relação entre a forma exponencial e a forma em cosseno (a parte teórica necessária, passo a passo e didática).
A série exponencial de Fourier para um sinal real pode ser escrita como
Quando o sinal é real, os coeficientes satisfazem
. A forma em cosseno (amplitude-fase) é
Usando a identidade de Euler,
Comparando termo a termo com a forma exponencial, para
tem-se
Logo, para
,
onde
é o módulo do número complexo
e
é sua fase (ângulo), tomado no intervalo conveniente (por exemplo
). O termo DC da forma exponencial é
; isto corresponde ao
da forma cosseno, ou seja
Passo 3
Determinar a frequência angular fundamental
e o período
a partir da informação sobre a 4ª harmônica.
Pela definição da harmônica
-ésima tem-se
. O enunciado deu
. Assim,
O período fundamental é
Passo 4
Determinar o termo DC
.
Pelo passo 2 temos
. Portanto
Passo 5
Calcular
e
a partir de
.
- Módulo de
:
- Logo
- Fase de
:
Portanto o termo correspondente é
.
Passo 6
Calcular
e
a partir de
.
- Primeiro o módulo:
- Então
- Agora a fase
. O número complexo está no segundo quadrante, e seu ângulo é
Portanto o termo correspondente é
.
Passo 7
Reunir tudo e escrever
na forma solicitada, lembrando que apenas os harmônicos
e
aparecem (os demais têm coeficiente nulo).
Com
temos
. Assim a representação é
onde os valores calculados são
,
,
,
,
.