Sejam
um subconjunto limitado de
e
. Definimos os conjuntos
e
por
Se
então
e
.
Passo 1
O enunciado define, para um conjunto limitado
e
,
Queremos mostrar que, se
, então
Vamos usar a definição de ínfimo e supremo como, respectivamente, maior cota inferior e menor cota superior, e o fato de que multiplicação por constante positiva preserva desigualdades.
Passo 2
Prova de
. Seja
- Para todo
vale . Como , multiplica-se pela mesma constante sem inverter a desigualdade, obtendo
ou seja,
é cota inferior de
.
2. Seja qualquer cota inferior de
. Então para todo
temos
2. Seja
Logo
é cota inferior de
, de modo que
Isto mostra que
é a maior cota inferior de
. Portanto
Passo 3
Prova de
. Seja
- Para todo
vale . Como , multiplica-se sem trocar o sentido da desigualdade, obtendo
logo
é cota superior de
.
2. Seja qualquer cota superior de
. Então para todo
temos
2. Seja
Assim
é cota superior de
, implicando
Portanto
é a menor cota superior de
. Concluímos