Sejam A um subconjunto limitado de \mathbb{R} e \alpha \in \mathbb{R}. Definimos os conjuntos \alpha A e A+\alpha por
\begin{aligned} \alpha A & =\{\alpha a ; a \in A\} \\\ A+\alpha & =\{a+\alpha ; a \in A\} \end{aligned}
Se \alpha>0 então \inf (\alpha A)=\alpha \inf A e \sup (\alpha A)=\alpha \sup A.

Passo 1

O enunciado define, para um conjunto limitado A\subset\mathbb{R} e \alpha\in\mathbb{R},
\alpha A=\{\alpha a \mid a\in A\}, \quad A+\alpha=\{a+\alpha\mid a\in A\}.
Queremos mostrar que, se \alpha>0, então
\inf(\alpha A)=\alpha\inf A \quad\text{e}\quad \sup(\alpha A)=\alpha\sup A.
Vamos usar a definição de ínfimo e supremo como, respectivamente, maior cota inferior e menor cota superior, e o fato de que multiplicação por constante positiva preserva desigualdades.

Passo 2

Prova de \inf(\alpha A)=\alpha\inf A. Seja
m=\inf A.
  1. Para todo a\in A vale m\le a. Como \alpha>0, multiplica-se pela mesma constante sem inverter a desigualdade, obtendo
\alpha m \le \alpha a,
ou seja, \alpha m é cota inferior de \alpha A.
2. Seja L qualquer cota inferior de \alpha A. Então para todo a\in A temos
L\le \alpha a \quad\Longrightarrow\quad \frac{L}{\alpha}\le a.
Logo \tfrac L\alpha é cota inferior de A, de modo que
\frac{L}{\alpha}\le m \quad\Longrightarrow\quad L\le \alpha m.
Isto mostra que \alpha m é a maior cota inferior de \alpha A. Portanto
\inf(\alpha A)=\alpha\,\inf A.

Passo 3

Prova de \sup(\alpha A)=\alpha\sup A. Seja
M=\sup A.
  1. Para todo a\in A vale a\le M. Como \alpha>0, multiplica-se sem trocar o sentido da desigualdade, obtendo
\alpha a\le \alpha M,
logo \alpha M é cota superior de \alpha A.
2. Seja U qualquer cota superior de \alpha A. Então para todo a\in A temos
\alpha a\le U \quad\Longrightarrow\quad a\le \frac{U}{\alpha}.
Assim \tfrac U\alpha é cota superior de A, implicando
M\le \frac{U}{\alpha} \quad\Longrightarrow\quad \alpha M\le U.
Portanto \alpha M é a menor cota superior de \alpha A. Concluímos
\sup(\alpha A)=\alpha\,\sup A.

Resposta

\displaystyle \inf(\alpha A)=\alpha\,\inf A
\displaystyle \sup(\alpha A)=\alpha\,\sup A

Exercícios relacionados