Sejam A um subconjunto limitado de \mathbb{R} e \alpha \in \mathbb{R}. Definimos os conjuntos \alpha A e A+\alpha por
\begin{aligned} \alpha A & =\{\alpha a ; a \in A\} \\\ A+\alpha & =\{a+\alpha ; a \in A\} \end{aligned}
Se \beta<0 então \inf (\beta A)=\beta \sup A e \sup (\beta A)=\beta \inf A.

Passo 1

O enunciado diz que A\subset\mathbb{R} é limitado e \beta<0. Definimos
\beta A=\{\beta a: a\in A\}.
Queremos mostrar que
\inf(\beta A)=\beta\sup A \quad\text{e}\quad \sup(\beta A)=\beta\inf A.
Vamos usar a definição de infímio/supremum e o fato de que multiplicar por número negativo inverte desigualdades.

Passo 2

Mostramos que \beta\sup A é cota inferior de \beta A. Para todo a\in A vale
a\le\sup A.
Como \beta<0, ao multiplicar a desigualdade por \beta temos
\beta a\ge\beta\,\sup A.
Isto diz que \beta\,\sup A é de fato um limite inferior de \{\beta a:a\in A\}.

Passo 3

Agora verificamos que \beta\sup A é o maior desses limites inferiores. Seja L uma cota inferior qualquer de \beta A, isto é,
L\le \beta a\quad\forall\,a\in A.
Dividindo por \beta (número negativo) invertemos:
\frac{L}{\beta}\ge a\quad\forall\,a\in A,
logo \tfrac{L}{\beta} é cota superior de A. Pela definição de supremum,
\sup A\le \frac{L}{\beta} \quad\Longrightarrow\quad \beta\,\sup A \ge L.
Como qualquer cota inferior L satisfaz L\le\beta\,\sup A, concluímos que \beta\,\sup A é o maior limite inferior, ou seja
\inf(\beta A)=\beta\,\sup A.

Passo 4

De modo análogo mostramos \sup(\beta A)=\beta\,\inf A. Primeiro, para todo a\in A,
\inf A\le a \quad\Longrightarrow\quad \beta\,\inf A\ge \beta a,
logo \beta\,\inf A é cota superior de \beta A. Seja U qualquer cota superior de \beta A:
\beta a\le U\quad\forall\,a\in A \quad\Longrightarrow\quad a\le \frac{U}{\beta}\quad\forall\,a\in A
(dividir por \beta<0 inverte novamente). Assim \tfrac{U}{\beta} é cota inferior de A e
\frac{U}{\beta}\le\inf A \quad\Longrightarrow\quad U\ge\beta\,\inf A.
Portanto \beta\,\inf A é o menor limite superior de \beta A, isto é
\sup(\beta A)=\beta\,\inf A.

Resposta

\displaystyle \inf(\beta A)=\beta\,\sup A e \displaystyle \sup(\beta A)=\beta\,\inf A.

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