Sejam
um subconjunto limitado de
e
. Definimos os conjuntos
e
por
Se
então
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
é limitado e
. Definimos
Queremos mostrar que
Vamos usar a definição de infímio/supremum e o fato de que multiplicar por número negativo inverte desigualdades.
Passo 2
Mostramos que
é cota inferior de
. Para todo
vale
Como
, ao multiplicar a desigualdade por
temos
Isto diz que
é de fato um limite inferior de
.
Passo 3
Agora verificamos que
é o maior desses limites inferiores. Seja
uma cota inferior qualquer de
, isto é,
Dividindo por
(número negativo) invertemos:
logo
é cota superior de
. Pela definição de supremum,
Como qualquer cota inferior
satisfaz
, concluímos que
é o maior limite inferior, ou seja
Passo 4
De modo análogo mostramos
. Primeiro, para todo
,
logo
é cota superior de
. Seja
qualquer cota superior de
:
(dividir por
inverte novamente). Assim
é cota inferior de
e
Portanto
é o menor limite superior de
, isto é