Sejam A um subconjunto limitado de \mathbb{R} e \alpha \in \mathbb{R}. Definimos os conjuntos \alpha A e A+\alpha por
\begin{aligned} \alpha A & =\{\alpha a ; a \in A\} \\\ A+\alpha & =\{a+\alpha ; a \in A\} \end{aligned}
Se \alpha \in \mathbb{R} então \inf (A+\alpha)=\inf A+\alpha \mathrm{e} \sup (A+\alpha)=\sup A+\alpha.

Passo 1

O enunciado apresenta um conjunto limitado A\subset\mathbb{R} e um escalar \alpha\in\mathbb{R}. Definimos o conjunto traduzido
A+\alpha=\{\,a+\alpha : a\in A\}.
O objetivo é mostrar que a tradução preserva ínfimo e supremo, isto é,
\inf(A+\alpha)=\inf A+\alpha \quad\text{e}\quad \sup(A+\alpha)=\sup A+\alpha.
Para isso vamos usar a definição de ínfimo (maior das cotas inferiores) e de supremo (menor das cotas superiores).

Passo 2

Provar \inf(A+\alpha)=\inf A+\alpha:
Seja m=\inf A. Primeiro, mostramos que m+\alpha é uma cota inferior de A+\alpha. De fato, para todo x\in A+\alpha existe a\in A tal que x=a+\alpha. Como m é cota inferior de A, temos m\le a. Assim
m+\alpha \;\le\; a+\alpha \;=\; x,
logo m+\alpha é cota inferior de A+\alpha.
Agora, seja L qualquer cota inferior de A+\alpha. Isso significa L\le x para todo x\in A+\alpha. Em particular, para cada a\in A temos
L \;\le\; a+\alpha \quad\Longrightarrow\quad L-\alpha \;\le\; a.
Portanto L-\alpha é cota inferior de A. Como m=\inf A é a maior cota inferior de A, segue
L-\alpha \;\le\; m \quad\Longrightarrow\quad L \;\le\; m+\alpha.
Concluímos que nenhuma cota inferior de A+\alpha pode ultrapassar m+\alpha, ou seja, m+\alpha é a maior cota inferior de A+\alpha. Assim
\inf(A+\alpha)=m+\alpha=\inf A+\alpha.

Passo 3

Provar \sup(A+\alpha)=\sup A+\alpha:
Seja M=\sup A. Primeiro, M+\alpha é cota superior de A+\alpha porque, para x=a+\alpha\in A+\alpha e como a\le M, segue
x = a+\alpha \;\le\; M+\alpha.
Agora, seja U uma cota superior genérica de A+\alpha. Então U\ge x para todo x=a+\alpha, isto é,
U \;\ge\; a+\alpha \quad\Longrightarrow\quad U-\alpha \;\ge\; a \quad\text{para todo }a\in A.
Logo U-\alpha é cota superior de A. Como M=\sup A é a menor cota superior de A, temos
U-\alpha \;\ge\; M \quad\Longrightarrow\quad U \;\ge\; M+\alpha.
Portanto M+\alpha é a menor cota superior de A+\alpha e
\sup(A+\alpha)=M+\alpha=\sup A+\alpha.

Resposta

\displaystyle \inf(A+\alpha)=\inf A+\alpha
\displaystyle \sup(A+\alpha)=\sup A+\alpha

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