Sejam
um subconjunto limitado de
e
. Definimos os conjuntos
e
por
Se
então
.
Passo 1
O enunciado apresenta um conjunto limitado
e um escalar
. Definimos o conjunto traduzido
O objetivo é mostrar que a tradução preserva ínfimo e supremo, isto é,
Para isso vamos usar a definição de ínfimo (maior das cotas inferiores) e de supremo (menor das cotas superiores).
Passo 2
Provar
:
Seja
. Primeiro, mostramos que
é uma cota inferior de
. De fato, para todo
existe
tal que
. Como
é cota inferior de
, temos
. Assim
logo
é cota inferior de
.
Agora, seja
qualquer cota inferior de
. Isso significa
para todo
. Em particular, para cada
temos
Portanto
é cota inferior de
. Como
é a maior cota inferior de
, segue
Concluímos que nenhuma cota inferior de
pode ultrapassar
, ou seja,
é a maior cota inferior de
. Assim
Passo 3
Provar
:
Seja
. Primeiro,
é cota superior de
porque, para
e como
, segue
Agora, seja
uma cota superior genérica de
. Então
para todo
, isto é,
Logo
é cota superior de
. Como
é a menor cota superior de
, temos
Portanto
é a menor cota superior de
e