1. Sejam W_{1} e W_{2} subespaços de um espaço vetorial V e suponha que W_{1} \cap W_{2}=\{0\}. Sejam w_{1} \in W_{1} \quad e \quad w_{2} \in W_{2} tais que w_{1} \neq \overrightarrow{0} e w_{2} \neq \overrightarrow{0}. Mostre que \left\{w_{1}, w_{2}\right\} é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados: W_{1} e W_{2} são subespaços de um espaço vetorial V.
  • Dado: W_{1}\cap W_{2}=\{0\}.
  • Dado: w_{1}\in W_{1} com w_{1}\neq \overrightarrow{0}.
  • Dado: w_{2}\in W_{2} com w_{2}\neq \overrightarrow{0}.
O que se pede mostrar: que o conjunto \{w_{1},w_{2}\} é linearmente independente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar com calma a definição de independência linear (isso é essencial para a prova).
  • Definição: um conjunto \{v_{1},v_{2}\}\subset V é linearmente independente se, sempre que existirem escalares \alpha e \beta tais que
\alpha v_{1}+\beta v_{2}=\overrightarrow{0},
então necessariamente \alpha=0 e \beta=0.
Aqui \alpha e \beta são escalares no corpo sobre o qual V está definido (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}).

Passo 3

Estratégia da prova (passo a passo): supondo que
\alpha w_{1}+\beta w_{2}=\overrightarrow{0},
mostraremos que obrigatoriamente \alpha=0 e \beta=0. Para isso consideramos dois casos: \alpha=0 e \alpha\neq 0. Em cada caso deduzimos o que acontece com \beta.

Passo 4

Caso \alpha=0.
Se \alpha=0, a igualdade \alpha w_{1}+\beta w_{2}=\overrightarrow{0} fica
\beta w_{2}=\overrightarrow{0}.
Mas w_{2}\neq\overrightarrow{0}. Em um espaço vetorial vale a propriedade: se c é um escalar e v é um vetor não-nulo então cv=\overrightarrow{0} implica c=0. (Explicando rápido: se c\neq 0 então multiplica-se a igualdade por c^{-1} e obtém-se v=\overrightarrow{0}, contradição.) Portanto \beta=0.
Assim, no caso \alpha=0 obtemos \beta=0.

Passo 5

Caso \alpha\neq 0.
Partindo de
\alpha w_{1}+\beta w_{2}=\overrightarrow{0},
isola-se w_{1}:
w_{1} = -\frac{\beta}{\alpha}\,w_{2}.
Agora use duas propriedades importantes dos subespaços:
  • w_{2}\in W_{2} e W_{2} é fechado sob multiplicação por escalar, então -\dfrac{\beta}{\alpha}\,w_{2}\in W_{2}.
  • Também w_{1}\in W_{1} por hipótese.
Da igualdade acima concluímos que w_{1} pertence simultaneamente a W_{1} e a W_{2}; ou seja,
w_{1}\in W_{1}\cap W_{2}.
Mas foi dado que W_{1}\cap W_{2}=\{0\}, logo isso implica w_{1}=\overrightarrow{0}. Isso contradiz a hipótese w_{1}\neq\overrightarrow{0}.
Portanto a hipótese \alpha\neq 0 não pode ocorrer. Logo necessariamente \alpha=0.

Passo 6

Juntando os dois casos analisados: a segunda possibilidade ( \alpha\neq 0) leva a contradição, então \alpha=0; do caso \alpha=0 deduzimos \beta=0. Assim a única solução da combinação linear
\alpha w_{1}+\beta w_{2}=\overrightarrow{0}
é \alpha=0 e \beta=0. Pelo critério da definição, isso significa que \{w_{1},w_{2}\} é linearmente independente.

Resposta

\{w_{1},w_{2}\} é linearmente independente.

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