- Sejam
e
subespaços de um espaço vetorial
e suponha que
. Sejam
e
tais que
e
. Mostre que
é linearmente independente.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dados:
e são subespaços de um espaço vetorial . - Dado:
. - Dado:
com . - Dado:
com .
O que se pede mostrar: que o conjunto
é linearmente independente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar com calma a definição de independência linear (isso é essencial para a prova).
- Definição: um conjunto
é linearmente independente se, sempre que existirem escalares e tais que
então necessariamente
e
.
Aqui
e
são escalares no corpo sobre o qual
está definido (por exemplo
ou
).
Passo 3
Estratégia da prova (passo a passo): supondo que
mostraremos que obrigatoriamente
e
. Para isso consideramos dois casos:
e
. Em cada caso deduzimos o que acontece com
.
Passo 4
Caso
.
Se
, a igualdade
fica
Mas
. Em um espaço vetorial vale a propriedade: se
é um escalar e
é um vetor não-nulo então
implica
. (Explicando rápido: se
então multiplica-se a igualdade por
e obtém-se
, contradição.) Portanto
.
Assim, no caso
obtemos
.
Passo 5
Caso
.
Partindo de
isola-se
:
Agora use duas propriedades importantes dos subespaços:
-
e é fechado sob multiplicação por escalar, então . - Também
por hipótese.
Da igualdade acima concluímos que
pertence simultaneamente a
e a
; ou seja,
Mas foi dado que
, logo isso implica
. Isso contradiz a hipótese
.
Portanto a hipótese
não pode ocorrer. Logo necessariamente
.
Passo 6
Juntando os dois casos analisados: a segunda possibilidade (
) leva a contradição, então
; do caso
deduzimos
. Assim a única solução da combinação linear
é
e
. Pelo critério da definição, isso significa que
é linearmente independente.