é linearmente independente.
Informações dadas (explicitadas):
Primeiro vetor (polinômio): p_{1}(x)=x^{4}.
Segundo vetor: p_{2}(x)=x^{4}+x^{3}.
Terceiro vetor: p_{3}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}.
O que se pede: decidir se existe alguma combinação linear não trivial \alpha_{1}p_{1}+\alpha_{2}p_{2}+\alpha_{3}p_{3}=0 (o polinômio nulo) com
alguns escalares \alpha_{i} não todos nulos. Se só existir a solução trivial \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0, o conjunto é linearmente independente;
caso contrário é dependente.
Passo 2
Definição e ideia usada (sem pular etapas):
Um polinômio é a expressão a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.
O polinômio nulo 0 é aquele cujos coeficientes são todos zero.
Dois polinômios são iguais se e somente se os coeficientes correspondentes de cada potência de x são iguais.
Portanto, para testar independência, formamos a combinação linear e igualamos o resultado ao polinômio nulo e igualamos coeficientes termo a termo.
Passo 3
Escrever a combinação linear genérica igual ao polinômio nulo:
Como o lado direito é o polinômio nulo, os coeficientes de x^{4},x^{3},x^{2},x,1 devem ser zero. Isso gera o sistema de equações lineares para os escalares \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}:
Resolver o sistema passo a passo (método direto, triangular):
Da terceira equação obtemos \alpha_{3}=0.
Substituindo \alpha_{3}=0 na segunda equação dá \alpha_{2}+0=0, então \alpha_{2}=0.
Substituindo \alpha_{2}=0 e \alpha_{3}=0 na primeira equação dá \alpha_{1}+0+0=0, então \alpha_{1}=0.
Passo 6
Interpretação do resultado: a única solução da combinação linear que dá o polinômio nulo é a solução trivial \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Pelo significado da definição de independência linear, isso implica que o conjunto dado é linearmente independente.