1. O seguinte conjunto de polinômios é linearmente independente? Explique sua resposta.
\left\{x^{4}, x^{4}+x^{3}, x^{4}+x^{3}+x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
\{\,x^{4},\;x^{4}+x^{3},\;x^{4}+x^{3}+x^{2}\,\}
é linearmente independente.
Informações dadas (explicitadas):
  • Primeiro vetor (polinômio): p_{1}(x)=x^{4}.
  • Segundo vetor: p_{2}(x)=x^{4}+x^{3}.
  • Terceiro vetor: p_{3}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}.
O que se pede: decidir se existe alguma combinação linear não trivial
\alpha_{1}p_{1}+\alpha_{2}p_{2}+\alpha_{3}p_{3}=0 (o polinômio nulo) com
alguns escalares \alpha_{i} não todos nulos. Se só existir a solução trivial
\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0, o conjunto é linearmente independente;
caso contrário é dependente.

Passo 2

Definição e ideia usada (sem pular etapas):
  • Um polinômio é a expressão a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.
  • O polinômio nulo 0 é aquele cujos coeficientes são todos zero.
  • Dois polinômios são iguais se e somente se os coeficientes correspondentes de cada potência de x são iguais.
    Portanto, para testar independência, formamos a combinação linear e igualamos o resultado ao polinômio nulo e igualamos coeficientes termo a termo.

Passo 3

Escrever a combinação linear genérica igual ao polinômio nulo:
\alpha_{1}p_{1}(x)+\alpha_{2}p_{2}(x)+\alpha_{3}p_{3}(x)=0.
Substituindo p_{1},p_{2},p_{3}:
\alpha_{1}x^{4}+\alpha_{2}(x^{4}+x^{3})+\alpha_{3}(x^{4}+x^{3}+x^{2})=0.

Passo 4

Expandir e agrupar os coeficientes de cada potência de x:
(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3})x^{4}+(\alpha_{2}+\alpha_{3})x^{3}+(\alpha_{3})x^{2}+0\cdot x+0=0.
Como o lado direito é o polinômio nulo, os coeficientes de x^{4},x^{3},x^{2},x,1 devem ser zero. Isso gera o sistema de equações lineares para os escalares \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}:
\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=0,\\[4pt] \alpha_{2}+\alpha_{3}=0,\\[4pt] \alpha_{3}=0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo (método direto, triangular):
  • Da terceira equação obtemos \alpha_{3}=0.
  • Substituindo \alpha_{3}=0 na segunda equação dá \alpha_{2}+0=0, então \alpha_{2}=0.
  • Substituindo \alpha_{2}=0 e \alpha_{3}=0 na primeira equação dá \alpha_{1}+0+0=0, então \alpha_{1}=0.

Passo 6

Interpretação do resultado: a única solução da combinação linear que dá o polinômio nulo é a solução trivial \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Pelo significado da definição de independência linear, isso implica que o conjunto dado é linearmente independente.

Resposta

Sim — o conjunto é linearmente independente.

Exercícios relacionados