Sejam
e
. Assinale a alternativa correta:
(a)
e
divergem.
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c)
diverge e
converge.
(d)
e
convergem.
(e)
converge e
diverge.
(a)
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado nos dá duas séries numéricas (com termos não-negativos) e pede que indiquemos quais convergem ou divergem:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os termos gerais são
para e para . - As duas séries somam de
até infinito. - Como os termos são não-negativos, basta verificar convergência (geralmente por testes como razão ou comparação).
Passo 2
Apresento o teste que vou usar (Razão de Cauchy / teste da razão), explicando bem:
- Seja uma série com termos positivos
com . Definimos a razão
quando esse limite existe (ou considerar o limite superior). O teste diz:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo. - Intuição: se
tende a um número menor que 1, os termos decrescem geometricamente e a soma converge; se tende maior que 1, os termos não vão a zero e diverge.
Vou aplicar esse teste a
e a
. Como ambos têm termos positivos, o teste é apropriado e nos dará resposta definitiva quando
.
Passo 3
Aplicando o teste da razão em
. Tome
. Calculo a razão
passo a passo:
Agora uso
, logo
. Substituindo:
Note que
, então
. Assim
Agora faço o limite quando
:
Aqui, no numerador temos um polinômio em
de grau
e, no denominador, temos uma exponencial
. Exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios, então esse limite é
. Formalmente, por exemplo,
. Portanto
Pela regra da razão, a série
converge. (Como os termos são positivos, a convergência é absoluta.)
Passo 4
Comentário intuitivo sobre
(ajuda para lembrar na prova): o denominador
cresce como uma função do tipo
(muito rápido), enquanto
cresce como algo tipo
(bem mais devagar que
). Por isso o quociente tende a zero muito rapidamente e a soma converge rapidamente.
Passo 5
Agora aplico o teste da razão em
. Tome
. Calculo a razão
:
Usando novamente
, simplifica-se facilmente:
Agora o limite:
Pela regra da razão, a série
também converge (novamente, termos positivos implicam convergência absoluta).
Passo 6
Conclusão combinada: ambos os limites de razão são iguais a
, menores que
, logo ambas as séries convergem. Entre as alternativas dadas, a correta é a que afirma que
e
convergem.
Resposta
(d)