Sejam S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}} e S_{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3 n^{2}}{(n!)^{2}}. Assinale a alternativa correta:
(a) S_{1} e S_{2} divergem.
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c) S_{1} diverge e S_{2} converge.
(d) S_{1} e S_{2} convergem.
(e) S_{1} converge e S_{2} diverge.

Passo 1

O enunciado nos dá duas séries numéricas (com termos não-negativos) e pede que indiquemos quais convergem ou divergem:
S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}}
S_{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3n^{2}}{(n!)^{2}}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os termos gerais são a_n=\dfrac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}} para S_{1} e b_n=\dfrac{3n^{2}}{(n!)^{2}} para S_{2}.
  • As duas séries somam de n=0 até infinito.
  • Como os termos são não-negativos, basta verificar convergência (geralmente por testes como razão ou comparação).

Passo 2

Apresento o teste que vou usar (Razão de Cauchy / teste da razão), explicando bem:
  • Seja uma série com termos positivos \sum_{n=0}^\infty t_n com t_n>0. Definimos a razão
L=\lim_{n\to\infty}\frac{t_{n+1}}{t_n},
quando esse limite existe (ou considerar o limite superior). O teste diz:
  • Se L<1, a série converge.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
  • Intuição: se t_{n+1}/t_n tende a um número menor que 1, os termos decrescem geometricamente e a soma converge; se tende maior que 1, os termos não vão a zero e diverge.
Vou aplicar esse teste a S_{1} e a S_{2}. Como ambos têm termos positivos, o teste é apropriado e nos dará resposta definitiva quando L<1.

Passo 3

Aplicando o teste da razão em S_{1}. Tome a_n=\dfrac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}}. Calculo a razão a_{n+1}/a_n passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{((n+1)!)^{2}}{2^{(n+1)^{2}}}}{\dfrac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}}} = \frac{((n+1)!)^{2}}{(n!)^{2}}\cdot \frac{2^{n^{2}}}{2^{(n+1)^{2}}}.
Agora uso (n+1)!=(n+1)(n!), logo ((n+1)!)^{2}=(n+1)^{2}(n!)^{2}. Substituindo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = (n+1)^{2}\cdot \frac{2^{n^{2}}}{2^{(n+1)^{2}}}.
Note que (n+1)^{2}-n^{2}=2n+1, então 2^{(n+1)^{2}}=2^{n^{2}}2^{2n+1}. Assim
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{2}}{2^{2n+1}}.
Agora faço o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{2^{2n+1}}.
Aqui, no numerador temos um polinômio em n de grau 2 e, no denominador, temos uma exponencial 2^{2n+1}=4^{n}\cdot 2. Exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios, então esse limite é 0. Formalmente, por exemplo, \dfrac{(n+1)^{2}}{4^{n}}\to 0. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0<1.
Pela regra da razão, a série S_{1} converge. (Como os termos são positivos, a convergência é absoluta.)

Passo 4

Comentário intuitivo sobre S_{1} (ajuda para lembrar na prova): o denominador 2^{n^{2}} cresce como uma função do tipo e^{c n^{2}} (muito rápido), enquanto (n!)^{2} cresce como algo tipo e^{2n\ln n} (bem mais devagar que e^{c n^{2}}). Por isso o quociente tende a zero muito rapidamente e a soma converge rapidamente.

Passo 5

Agora aplico o teste da razão em S_{2}. Tome b_n=\dfrac{3n^{2}}{(n!)^{2}}. Calculo a razão b_{n+1}/b_n:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{3(n+1)^{2}}{((n+1)!)^{2}}}{\dfrac{3n^{2}}{(n!)^{2}}} = \frac{(n+1)^{2}}{((n+1)!)^{2}}\cdot \frac{(n!)^{2}}{n^{2}}.
Usando novamente ((n+1)!)^{2}=(n+1)^{2}(n!)^{2}, simplifica-se facilmente:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{(n+1)^{2}}{(n+1)^{2}(n!)^{2}}\cdot \frac{(n!)^{2}}{n^{2}} = \frac{1}{n^{2}}.
Agora o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0<1.
Pela regra da razão, a série S_{2} também converge (novamente, termos positivos implicam convergência absoluta).

Passo 6

Conclusão combinada: ambos os limites de razão são iguais a 0, menores que 1, logo ambas as séries convergem. Entre as alternativas dadas, a correta é a que afirma que S_{1} e S_{2} convergem.

Resposta

(d)

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