Sejam (A) \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e (B) \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} duas séries. Considere a série
(C) \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+2 b_{n}\right). Sobre as afirmações abaixo:
(I) Se a série (A) converge absolutamente e a série (C) converge condicionalmente, então a série (B) converge.
(II) Se as séries (A) e (B) divergem, a série (C) diverge.
(III) Se (B) converge então a série \sum(-1)^{n} b_{n} converge.
(IV) Se as séries (A) e (B) convergem, então a série (C) converge.
Pode-se afirmar que:
(a) Somente (I) e (IV) são verdadeiras.
(b) (I), (III) e (IV) são verdadeiras.
(c) (II), (III) e (IV) são verdadeiras.
(d) A afirmação (I) é falsa e a afirmação (IV) é verdadeira.
(e) Todas as afirmações são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado define três séries:
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} (A), \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} (B) e
\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+2b_{n}) (C).
Vamos usar a linearidade de séries (soma e diferença de séries convergentes converge) e contraexemplos para testar cada afirmação.

Passo 2

Analisando (I): “Se (A) converge absolutamente e (C) converge condicionalmente, então (B) converge.”
Como (A) converge absolutamente, em particular \sum a_{n} converge. Se \sum(a_{n}+2b_{n}) converge, então a diferença
2\sum_{n=1}^{\infty}b_{n} =\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+2b_{n}) -\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
também converge. Logo \sum b_{n} converge.
Portanto (I) é verdadeira.

Passo 3

Analisando (II): “Se (A) e (B) divergem, então (C) diverge.”
Basta um contraexemplo: tome a_{n}=1 e b_{n}=-\tfrac12 para todo n.
Então \sum a_{n} diverge e \sum b_{n} também diverge, mas
a_{n}+2b_{n}=1+2\Bigl(-\tfrac12\Bigr)=0,
de modo que \sum(a_{n}+2b_{n})=0 converge.
Logo (II) é falsa.

Passo 4

Analisando (III): “Se (B) converge então \sum(-1)^{n}b_{n} converge.”
Contraexemplo clássico: defina b_{n}=(-1)^{n}/n.
A série \sum b_{n} é a série harmônica alternada, que converge. Mas
(-1)^{n}b_{n} =\frac{(-1)^{n}(-1)^{n}}{n} =\frac{1}{n},
e \sum1/n diverge.
Logo (III) é falsa.

Passo 5

Analisando (IV): “Se (A) e (B) convergem, então (C) converge.”
Isto decorre imediatamente da linearidade das séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+2b_{n}) =\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} +2\sum_{n=1}^{\infty}b_{n},
que é soma de séries convergentes, logo converge.
Portanto (IV) é verdadeira.

Resposta

(a) Somente (I) e (IV) são verdadeiras.

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