Sejam (A)
e (B)
duas séries. Considere a série
(C)
. Sobre as afirmações abaixo:
(I) Se a série (A) converge absolutamente e a série (C) converge condicionalmente, então a série (B) converge.
(II) Se as séries (A) e (B) divergem, a série (C) diverge.
(III) Se (B) converge então a série
converge.
(IV) Se as séries (A) e (B) convergem, então a série (C) converge.
Pode-se afirmar que:
(a) Somente (I) e (IV) são verdadeiras.
(b) (I), (III) e (IV) são verdadeiras.
(c) (II), (III) e (IV) são verdadeiras.
(d) A afirmação (I) é falsa e a afirmação (IV) é verdadeira.
(e) Todas as afirmações são verdadeiras.
(C)
(I) Se a série (A) converge absolutamente e a série (C) converge condicionalmente, então a série (B) converge.
(II) Se as séries (A) e (B) divergem, a série (C) diverge.
(III) Se (B) converge então a série
(IV) Se as séries (A) e (B) convergem, então a série (C) converge.
(a) Somente (I) e (IV) são verdadeiras.
(b) (I), (III) e (IV) são verdadeiras.
(c) (II), (III) e (IV) são verdadeiras.
(d) A afirmação (I) é falsa e a afirmação (IV) é verdadeira.
(e) Todas as afirmações são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado define três séries:
(A),
(B) e
(C).
Vamos usar a linearidade de séries (soma e diferença de séries convergentes converge) e contraexemplos para testar cada afirmação.
Vamos usar a linearidade de séries (soma e diferença de séries convergentes converge) e contraexemplos para testar cada afirmação.
Passo 2
Analisando (I): “Se (A) converge absolutamente e (C) converge condicionalmente, então (B) converge.”
Como (A) converge absolutamente, em particular converge. Se
converge, então a diferença
Como (A) converge absolutamente, em particular
também converge. Logo
converge.
Portanto (I) é verdadeira.
Portanto (I) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (II): “Se (A) e (B) divergem, então (C) diverge.”
Basta um contraexemplo: tome e
para todo
.
Então diverge e
também diverge, mas
Basta um contraexemplo: tome
Então
de modo que
converge.
Logo (II) é falsa.
Logo (II) é falsa.
Passo 4
Analisando (III): “Se (B) converge então
converge.”
Contraexemplo clássico: defina .
A série é a série harmônica alternada, que converge. Mas
Contraexemplo clássico: defina
A série
e
diverge.
Logo (III) é falsa.
Logo (III) é falsa.
Passo 5
Analisando (IV): “Se (A) e (B) convergem, então (C) converge.”
Isto decorre imediatamente da linearidade das séries:
Isto decorre imediatamente da linearidade das séries:
que é soma de séries convergentes, logo converge.
Portanto (IV) é verdadeira.
Portanto (IV) é verdadeira.
Resposta
(a) Somente (I) e (IV) são verdadeiras.