Sejam as sequências a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}+\frac{2}{3^{n+1}} \quad e \quad b_{n}=\frac{\sqrt{n^{4}+2 n^{3}-3 n^{2}-5}}{3 n^{2}+9}
(a) \sum a_{n} e \sum b_{n} divergem.
(b) \sum b_{n} diverge mas b_{n} \rightarrow 0.
(c) \sum a_{n} converge e b_{n} \rightarrow 0.
(d) a_{n} \rightarrow 0 e b_{n} \rightarrow \infty.
(e) \sum a_{n} converge e \sum b_{n} diverge .

Passo 1

O enunciado dá as sequências
\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}+\frac{2}{3^{n+1}} e
\displaystyle b_{n}=\frac{\sqrt{n^{4}+2n^{3}-3n^{2}-5}}{3n^{2}+9},
e pergunta qual das afirmativas sobre a convergência das séries \sum a_{n}, \sum b_{n} e dos próprios termos é verdadeira.
Conteúdo: testes de convergência de séries (série alternante, geométrica e critério da divergência).

Passo 2

Analisamos \sum a_{n} separando em duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^{n+1}}.
A primeira é a série harmônica alternante, que converge pelo Critério de Leibniz. A segunda é geométrica com razão 1/3, logo também converge. Assim,
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \quad\text{é soma de séries convergentes, portanto converge.}éé

Passo 3

Para ver o comportamento de b_{n}, dividimos numerador e denominador por n^2:
b_{n} = \frac{\sqrt{n^{4}\bigl(1+\tfrac{2}{n}-\tfrac{3}{n^{2}}-\tfrac{5}{n^{4}}\bigr)}}{n^{2}\bigl(3+\tfrac{9}{n^{2}}\bigr)} = \frac{n^{2}\sqrt{1+\tfrac{2}{n}-\tfrac{3}{n^{2}}-\tfrac{5}{n^{4}}}}{n^{2}\bigl(3+\tfrac{9}{n^{2}}\bigr)}.
Como n\to\infty, o fator dentro da raiz tende a 1 e 3+\tfrac{9}{n^{2}}\to3. Logo
\lim_{n\to\infty}b_{n} =\frac{1}{3}\neq 0.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}b_{n}\neq 0, pelo Critério da Divergência a série
\sum b_{n} diverge.

Resposta

(e) \sum a_{n} converge e \sum b_{n} diverge.

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