Seja a_{n}=1+\frac{1}{2^{1 / 3}}+\frac{1}{3^{1 / 3}}+\cdots+\frac{1}{n^{1 / 3}}. Então \lim \frac{a_{n}}{n^{2 / 3}} é gual a:
(a) 0 .
(b) 3 / 2.
(c) \infty.
(d) \frac{a_{n}}{n^{2 / 3}} é divergente porém limitada.
(e) 1 / 3

Passo 1

O enunciado define
a_n = 1 + \frac{1}{2^{1/3}} + \frac{1}{3^{1/3}} + \cdots + \frac{1}{n^{1/3}}
e pede
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^{2/3}}.
O conteúdo usado será o teste da integral para séries de termos positivos decrescentes, que mostra que a soma de k^{-p} se comporta como a integral de x^{-p}. Aqui temos p = 1/3 < 1, então a soma cresce como n^{1-p}=n^{2/3}.

Passo 2

Considere a função f(x)=x^{-1/3}, que é positiva e decrescente para x\ge1. Pelos limites de soma e integral temos
\int_{1}^{n} x^{-1/3}\,dx \;\le\; \sum_{k=1}^{n}k^{-1/3} \;\le\; 1 + \int_{1}^{n} x^{-1/3}\,dx.
Ou seja,
\int_{1}^{n} x^{-1/3}\,dx \;\le\; a_n \;\le\; 1 + \int_{1}^{n} x^{-1/3}\,dx.

Passo 3

Calcule a integral:
\int_{1}^{n} x^{-1/3}\,dx = \left[\frac{3}{2}\,x^{2/3}\right]_{1}^{n} = \frac{3}{2}\bigl(n^{2/3}-1\bigr).
Logo as desigualdades viram
\frac{3}{2}\bigl(n^{2/3}-1\bigr) \;\le\; a_n \;\le\; 1 + \frac{3}{2}\bigl(n^{2/3}-1\bigr).

Passo 4

Dividindo tudo por n^{2/3} obtém-se
\frac{3}{2}\Bigl(1 - n^{-2/3}\Bigr) \;\le\; \frac{a_n}{n^{2/3}} \;\le\; \frac{1}{n^{2/3}} + \frac{3}{2}\Bigl(1 - n^{-2/3}\Bigr).
Como n^{-2/3}\to0, pelo Teorema do Confronto concluímos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^{2/3}} = \frac{3}{2}.

Resposta

(b) \tfrac{3}{2}

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