Sejam
uma transformação linear. Mostre que
é injetiva se, e somente se, a imagem por
de uma base de
é uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma transformação linear
. A gente quer mostrar que
ser injetiva é o mesmo que, se a gente aplicar
em uma base de
, o resultado também forma uma base de
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, injetividade, e base de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
ser injetiva. Uma transformação
é injetiva se, sempre que
, então
. Em termos de matrizes, isso significa que o núcleo de
(conjunto de vetores que
manda para o zero) contém só o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma base de
. Uma base é um conjunto de
vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço
. Ou seja, qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Passo 4
Vamos primeiro provar a direção “Se
é injetiva, então a imagem de uma base por
é uma base”.
Assume que
é injetiva. Vamos pegar uma base
de
. Queremos mostrar que
também é uma base.
Como
é linear e injetiva, a imagem de vetores linearmente independentes continua sendo linearmente independente. Então,
são
vetores linearmente independentes em
, o que significa que eles formam uma base.
Passo 5
Agora, vamos provar a direção inversa: “Se a imagem de uma base por
é uma base, então
é injetiva”.
Suponha que existe uma base
de
tal que
é também uma base de
. Como a imagem é uma base, esses vetores são linearmente independentes.
Se
não fosse injetiva, existiria um vetor não nulo no núcleo de
. Mas isso implicaria que a imagem de
não poderia ter
vetores linearmente independentes, o que é uma contradição. Portanto,
precisa ser injetiva.
Resposta
Assim, mostramos que
é injetiva se e somente se a imagem de uma base de
por
também forma uma base de
.