(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
(b) Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, determine a nulidade da transformação linear associada à matriz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para, para cada uma das matrizes listadas, encontrarmos uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determinarmos o posto dessa transformação. Depois, usando o Teorema do Núcleo e Imagem, vamos descobrir a nulidade da transformação. Vamos precisar entender conceitos como imagem de uma matriz, posto (rank) e o Teorema do Núcleo e Imagem. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a primeira matriz:
A = 1 & 2 & 4 2 & 4 & 8
A imagem de uma matriz é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz. O posto é o número de colunas que são linearmente independentes, ou seja, que não podem ser escritas como combinação das outras.
Passo 3
Vamos identificar as colunas da matriz A:
c1 = 1 2, c2 = 2 4, c3 = 4 8
Observamos que cada coluna é um múltiplo da primeira coluna. Por exemplo, c2 = 2c1 e c3 = 4c1. Isso significa que todas as colunas são linearmente dependentes e, portanto, apenas uma delas contribui para a imagem.
Passo 4
Como todas as colunas são múltiplos umas das outras, a imagem da matriz A é gerada apenas por uma coluna, por exemplo, c1. Assim, uma base para a imagem de A é:
1 2
O posto da matriz é o número de vetores na base da imagem, que nesse caso é 1.
Passo 5
Agora, vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz:
dim(Ima>=m) + dim(Núc<=o) = número de colunas úú
Para a matriz A, temos:
1 + nulidade = 3
Portanto, a nulidade é:
nulidade = 3 - 1 = 2
Passo 6
Vamos para a segunda matriz:
B = 1 & 2 & 4 2 & 5 & 8
Vamos seguir os mesmos passos para encontrar a base da imagem, o posto e a nulidade.
Passo 7
Identificamos as colunas de B:
c1 = 1 2, c2 = 2 5, c3 = 4 8
Vamos verificar se há dependência linear entre as colunas.
Passo 8
Vamos ver se c3 pode ser escrita como combinação das outras colunas:
c3 = ac1 + bc2
Resolvendo:
4 = a(1) + b(2) 8 = a(2) + b(5)
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: a + 2b = 4.
Da segunda: 2a + 5b = 8.
Multiplicando a primeira equação por 2: 2a + 4b = 8.
Subtraindo da segunda: (2a + 5b) - (2a + 4b) = 8 - 8 Rightarrow b = 0.
Substituindo b = 0 na primeira equação: a = 4.
Então, c3 = 4c1.
Passo 9
Portanto, c3 é múltiplo de c1, então a imagem de B é gerada por c1 e c2. Precisamos verificar se c2 também é múltiplo de c1.
Vamos ver se existe k tal que c2 = kc1:
2 = k cdot 1 Rightarrow k = 2
Mas 5 neq 2 cdot 2 = 4, então c2 não é múltiplo de c1. Isso significa que c1 e c2 são linearmente independentes.
Passo 10
Assim, uma base para a imagem de B é:
1 2, 2 5
O posto de B é 2.
Passo 11
Aplicando o Teorema do Núcleo e Imagem:
2 + nulidade = 3 Rightarrow nulidade = 1
Passo 12
Agora, vamos para a terceira matriz:
C = 0 & -2 & 0 1 & 3 & 5 0 & 4 & -1
Vamos encontrar a base da imagem de C, o posto e a nulidade.
Passo 13
Identificamos as colunas de C:
c1 = 0 1 0, c2 = -2 3 4, c3 = 0 5 -1
Vamos verificar se há dependência linear entre as colunas.
Passo 14
Vamos tentar expressar c3 como combinação linear de c1 e c2:
Inconsistência aqui, já que b não pode ser 0 e -1/4 ao mesmo tempo. Portanto, c3 não é combinação de c1 e c2.
Passo 15
Agora, vamos verificar se c1, c2 e c3 são linearmente independentes. Para isso, montamos a matriz com essas colunas e calculamos o determinante de submatrizes para verificar independência.
Como a matriz C tem 3 colunas e 3 linhas, podemos calcular o determinante da matriz para verificar se é invertível (independente):
Como o determinante é diferente de zero, as colunas são linearmente independentes.
Passo 16
Portanto, uma base para a imagem de C é:
0 1 0, -2 3 4, 0 5 -1
O posto de C é 3.
Passo 17
Aplicando o Teorema do Núcleo e Imagem:
3 + nulidade = 3 Rightarrow nulidade = 0
Passo 18
Finalmente, a quarta matriz:
D = 1 & 0 0 & -1
Vamos encontrar a base da imagem de D, o posto e a nulidade.
Passo 19
Identificamos as colunas de D:
c1 = 1 0, c2 = 0 -1
Vamos verificar a independência linear dessas colunas.
Passo 20
Clareza total: as colunas c1 e c2 são vetores padrão multiplicados por 1 e -1, respectivamente. Eles não são múltiplos um do outro, então são linearmente independentes.
Passo 21
Assim, uma base para a imagem de D é:
1 0, 0 -1
O posto de D é 2.
Passo 22
Aplicando o Teorema do Núcleo e Imagem:
2 + nulidade = 2 Rightarrow nulidade = 0
Resposta
(a) Uma base para a imagem de D é 1 0, 0 -1 e o posto da transformação é 2.
(b) A nulidade da transformação associada à matriz D é 0.