Seja T: R^n R^m uma transformação linear. Mostre que T é injetiva se, e somente se, dim(I(T))=n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear . O que precisamos mostrar é que é injetiva se, e somente se, a dimensão da imagem de (que a gente pode chamar de ) for igual a . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformação linear, núcleo, imagem e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser injetiva. Uma transformação linear é injetiva se, sempre que , então . Em outras palavras, não “colapsa” diferentes vetores em um mesmo vetor na imagem.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores em tal que . A dimensão do núcleo, , nos diz quantas “direções” diferentes existem onde manda os vetores para zero.

Passo 4

Sabemos pelo Teorema do Núcleo-Imaginário (ou Teorema da Dimensão) que:
dim(ker(T)) + dim(I(T)) = n
Isso relaciona a dimensão do núcleo e da imagem de com a dimensão do espaço de partida, que é .

Passo 5

Se é injetiva, então o único vetor que manda para zero é o vetor zero. Ou seja, . Portanto, .

Passo 6

Substituindo 0 + dim(I(T)) = n na equação do Passo 4, temos:
Então, .

Passo 7

Agora, vamos pensar no contrário. Se dim(ker(T)) + n = n , então substituindo na equação do Passo 4:
Portanto, , o que significa que , e então é injetiva.

Resposta

Assim, mostramos que é injetiva se, e somente se, .

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