Seja
uma transformação linear. Mostre que
é injetiva se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear
. O que precisamos mostrar é que
é injetiva se, e somente se, a dimensão da imagem de
(que a gente pode chamar de
) for igual a
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformação linear, núcleo, imagem e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
ser injetiva. Uma transformação linear
é injetiva se, sempre que
, então
. Em outras palavras,
não “colapsa” diferentes vetores em um mesmo vetor na imagem.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o núcleo de
, que é o conjunto de todos os vetores
em
tal que
. A dimensão do núcleo,
, nos diz quantas “direções” diferentes existem onde
manda os vetores para zero.
Passo 4
Sabemos pelo Teorema do Núcleo-Imaginário (ou Teorema da Dimensão) que:
Isso relaciona a dimensão do núcleo e da imagem de
com a dimensão do espaço de partida, que é
.
Passo 5
Se
é injetiva, então o único vetor que
manda para zero é o vetor zero. Ou seja,
. Portanto,
.
Passo 6
Substituindo
na equação do Passo 4, temos:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos pensar no contrário. Se
, então substituindo na equação do Passo 4:
Portanto,
, o que significa que
, e então
é injetiva.
Resposta
Assim, mostramos que
é injetiva se, e somente se,
.