Sejam 
  e 
  as transformações lineares dadas a seguir, determine se 
  e 
  e verifique se os resultados são iguais.
(a) 
  é a projeção ortogonal no eixo 
  e 
  é a projeção ortogonal no eixo 
 .
(a)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem duas transformações lineares, 
  e 
 , que funcionam no plano 
 . A 
  projeta um ponto no eixo 
 , e a 
  projeta no eixo 
 . Nosso objetivo aqui é descobrir se a composição dessas transformações, primeiro 
  depois 
  (ou seja, 
 ), e primeiro 
  depois 
  (ou seja, 
 ), são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as projeções ortogonais e como compor transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos definir matematicamente as projeções. A projeção ortogonal no eixo 
  transforma qualquer ponto 
  em 
 . Então, podemos escrever 
  assim:
Da mesma forma, a projeção ortogonal no eixo 
  transforma 
  em 
 , ou seja:
Passo 3
Agora, vamos compor as transformações. Primeiro, calculamos 
 , que significa aplicar 
  primeiro e depois 
  no resultado. Tomando um ponto qualquer 
 :
Em seguida, aplicamos 
  a esse resultado:
Então, a composição 
  transforma qualquer ponto em 
 .
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para 
 . Primeiro, aplicamos 
  a 
 :
Depois, aplicamos 
  nesse resultado:
Portanto, a composição 
  também transforma qualquer ponto em 
 .
Passo 5
Agora que temos as duas composições:
Percebemos que ambas as composições resultam no ponto 
  para qualquer 
 .
Resposta
Sim, 
  e 
  são iguais, já que ambas as composições transformam qualquer ponto 
  no ponto 
 .