Sejam x, y, z in R tais que x >= y e z neq 0. Diga se cada item a seguir é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta:
[0,5]|x| >= x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de desigualdades envolvendo valores absolutos. A gente tem que verificar se a expressão é verdadeira ou falsa, sabendo que , , e são números reais, com e . Vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como lidar com desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O representa a distância de até zero na reta numérica, sempre é um número não negativo. Então, para todo .

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Isso significa que estamos multiplicando o valor absoluto de por 0,5, ou seja, .

Passo 4

Vamos reescrever a desigualdade com essa informação:
12|x| >= x
Queremos descobrir para quais valores de essa desigualdade é verdadeira ou falsa.

Passo 5

Vamos considerar dois casos: quando 12x >= x é positivo (ou zero) e quando x >= 2x é negativo.
Caso 1: 0 >= x
Se 12(-x) >= x é positivo ou zero, então -12x >= x . Substituindo na desigualdade:
0 >= 32x
Multiplicando ambos os lados por 2 para facilitar:
0 >= x
Subtraindo de ambos os lados:
Isso só é possível se . Então, nesse caso, a desigualdade é verdadeira apenas quando .
Caso 2:
Se é negativo, então . Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Somando aos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Como já é negativo, isso sempre é verdadeiro.

Resposta

A desigualdade é verdadeira somente quando e falsa para .

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