Sejam
tais que
e
. Diga se cada item a seguir é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de desigualdades envolvendo valores absolutos. A gente tem que verificar se a expressão
é verdadeira ou falsa, sabendo que
,
, e
são números reais, com
e
. Vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como lidar com desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O
representa a distância de
até zero na reta numérica, sempre é um número não negativo. Então,
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Isso significa que estamos multiplicando o valor absoluto de
por 0,5, ou seja,
.
Passo 4
Vamos reescrever a desigualdade com essa informação:
Queremos descobrir para quais valores de
essa desigualdade é verdadeira ou falsa.
Passo 5
Vamos considerar dois casos: quando
é positivo (ou zero) e quando
é negativo.
Caso 1:
Se
é positivo ou zero, então
. Substituindo na desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por 2 para facilitar:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso só é possível se
. Então, nesse caso, a desigualdade é verdadeira apenas quando
.
Caso 2:
Se
é negativo, então
. Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Somando
aos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Como
já é negativo, isso sempre é verdadeiro.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira somente quando
e falsa para
.