Sejam x, y, z in R tais que x >= y e z neq 0. Diga se cada item a seguir é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta:
a. [0,5]|x| >= x;
b. [0,5]|x| >=|y|;
c. [0,5]|x| >= y;
d. [0,5] raizx^2+y^2 >=|x|.

Passo 1

O enunciado diz que temos números reais x, y e z (com x ≥ y e z ≠ 0) e pede pra dizer se cada desigualdade envolvendo 0,5|x| é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Para o item a, usamos a definição de valor absoluto: se x ≥ 0 então |x| = x e 0,5|x| = 0,5x < x (para x > 0), e se x < 0 então |x| = −x e 0,5|x| = −0,5x ≥ x só se x = 0. Logo em geral 0,5|x| < x, e o item a é falso.

Passo 3

No item b, a desigualdade 0,5|x| ≥ |y| exigiria |x| ≥ 2|y|, mas a única informação é x ≥ y (não compara valores absolutos). Por exemplo, x = 1, y = −2 satisfaz x ≥ y, mas 0,5·1 = 0,5 < 2 = |−2|. Logo b é falso.

Passo 4

Para o item c, 0,5|x| ≥ y também não decorre de x ≥ y. Basta x = 1, y = 0,7: temos 1 ≥ 0,7, mas 0,5·1 = 0,5 < 0,7. Então c é falso.

Passo 5

No item d, reescrevendo 0,5√(x²+y²) ≥ |x| temos √(x²+y²) ≥ 2|x|, ou seja y² ≥ 3x². Isso não vale para todo x, y com x ≥ y (por exemplo x = 1, y = 0 dá √2/2 < 1). Então d é falso.

Resposta

a) Falso; b) Falso; c) Falso; d) Falso.

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