Queremos construir uma caixa com base quadrada e tampa e só temos 16 m^2 de material. Assumindo que usamos todo o material para construir a caixa, determine o máximo volume que a caixa pode ter

Passo 1

O problema pede uma caixa com base quadrada e tampa, usando todo o material disponível de 16 m² para maximizar o volume. O conteúdo aqui é otimização de função com restrição, mas a gente vai eliminar a altura usando a condição da área e depois derivar.

Passo 2

Definimos a aresta da base como x e a altura como h. A área total é dada por soma da base, tampa e quatro faces laterais, ou seja,
2x^2 + 4xh = 16

Passo 3

A partir da restrição de área, isolamos h:
h = 16 - 2x^24x

Passo 4

O volume da caixa é V = x^2 h. Substituindo h em função de x, temos:
V(x) = x^2 cdot 16 - 2x^24x = 4x - tfrac12 x^3

Passo 5

Para encontrar o máximo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
V'(x) = 4 - tfrac32 x^2 = 0 Longrightarrow x^2 = tfrac83 Longrightarrow x = 2raiztfrac23

Passo 6

Verificamos que V''(x) = -3x < 0 em x>0, então esse ponto é um máximo.

Passo 7

Calculamos a altura correspondente:
h = 16 - 2(8/3)4x = 8/3x = 2raiz63

Passo 8

Finalmente, o volume máximo é
Vmax = x^2 h = 83 cdot 2raiz63 = 16raiz69

Resposta

Vmax = tfrac16raiz69,m^3

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