Considere o número real
a.
Mostre que
é raiz do polinômio
;
b.
Mostre que
é um número inteiro
b.
Passo 1
O enunciado define o número real
. Precisamos mostrar duas coisas: que
é raiz do polinômio
e, em seguida, que
é um número inteiro. O conteúdo envolve manipular radicais e usar o Teorema da Raiz Racional.
Passo 2
Defina
e
, de modo que
. Vamos expandir
usando a identidade
Passo 3
Sabemos que
e
. Além disso,
Passo 4
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Reescrevendo,
logo
é raiz de
.
Passo 6
Para mostrar que
é inteiro, aplicamos o Teorema da Raiz Racional: qualquer raiz racional de
deve ser divisor de 4, ou seja
. Como
é real e
segue que
está no intervalo
, de modo que o único candidato inteiro é
. De fato,
logo
, que é um número inteiro.
Resposta
1