Considere o número real
alpha=raiz[3]2+raiz5+raiz[3]2-raiz5
a. [1,5] Mostre que alpha é raiz do polinômio p(x)=x^3+3 x-4;
b. [1,5] Mostre que alpha é um número inteiro

Passo 1

O enunciado define o número real alpha=raiz[3]2+raiz5+raiz[3]2-raiz5. Precisamos mostrar duas coisas: que alpha é raiz do polinômio p(x)=x^3+3x-4 e, em seguida, que alpha é um número inteiro. O conteúdo envolve manipular radicais e usar o Teorema da Raiz Racional.

Passo 2

Defina a=raiz[3]2+raiz5 e b=raiz[3]2-raiz5, de modo que alpha=a+b. Vamos expandir (a+b)^3 usando a identidade
(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)

Passo 3

Sabemos que a^3=2+raiz5 e b^3=2-raiz5. Além disso,
ab = raiz[3](2+raiz5)(2-raiz5) = raiz[3]4-5 = raiz[3]-1 = -1

Passo 4

Substituindo em (a+b)^3 obtemos
alpha^3 = (2+raiz5)+(2-raiz5) + 3(-1)alpha = 4 - 3alpha

Passo 5

Reescrevendo,
alpha^3 + 3alpha -4 = 0,
logo alpha é raiz de p(x)=x^3+3x-4.

Passo 6

Para mostrar que alpha é inteiro, aplicamos o Teorema da Raiz Racional: qualquer raiz racional de p(x) deve ser divisor de 4, ou seja xinpm1,pm2,pm4. Como alpha é real e
alpha = raiz[3]2+raiz5 + raiz[3]2-raiz5 approx 1.62 - 0.62 = 1,
segue que alpha está no intervalo (1,2), de modo que o único candidato inteiro é x=1. De fato,
p(1)=1^3+3cdot1-4=0,
logo alpha=1, que é um número inteiro.

Resposta

1

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