Sejam a, b, c termos consecutivos, nesta ordem, de uma Progressão Aritmética de razão r tais que a \leqslant b \leqslant c. Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo, determine a medida de c, sabendo que:
r=11

Passo 1

O enunciado diz que a,b,c são termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão r=11 e, além disso, são as medidas dos lados de um triângulo retângulo com a\le b\le c. Para resolver, vamos:
  1. Expressar b e c em função de a.
  2. Aplicar o Teorema de Pitágoras: a^2+b^2=c^2.
  3. Resolver a equação resultante e escolher a solução compatível com lados positivos e a\le b\le c.

Passo 2

Como b e c são os termos seguintes a a numa PA de razão 11, temos
b = a + 11
c = a + 2\cdot 11 = a + 22

Passo 3

Pelo Teorema de Pitágoras,
a^2 + b^2 = c^2.
Substituindo b=a+11 e c=a+22, obtemos
a^2 + (a+11)^2 = (a+22)^2.

Passo 4

Expandindo e reunindo termos,
a^2 + a^2 + 22a + 121 = a^2 + 44a + 484
2a^2 + 22a + 121 = a^2 + 44a + 484
2a^2 - a^2 + 22a - 44a + 121 - 484 = 0
a^2 - 22a - 363 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-22)^2 - 4\cdot1\cdot(-363) = 484 + 1452 = 1936 = 44^2.
Logo as raízes são
a = \frac{22 \pm 44}{2} \;\implies\; a = 33 \quad\text{ou}\quad a = -11.

Passo 5

Descartamos a=-11 porque não admite lados positivos. Assim a=33,
b = 33 + 11 = 44,
c = 33 + 22 = 55.
Verificamos 33\le44\le55 e são positivos, logo c=55.

Resposta

A medida de c é 55.

Exercícios relacionados