Sejam a, b, c termos consecutivos, nesta ordem, de uma Progressão Aritmética de razão r tais que a \leqslant b \leqslant c. Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo, determine a medida de c, sabendo que:
r=6

Passo 1

O enunciado diz que a, b e c são termos consecutivos, nesta ordem, de uma Progressão Aritmética (PA) de razão r=6, com a\le b\le c, e que esses valores são as medidas dos lados de um triângulo retângulo. O conteúdo aqui é a definição de PA e o Teorema de Pitágoras para triângulos retângulos.

Passo 2

Pela definição de PA com razão r, temos
b = a + r
e
c = a + 2r.
Como r=6, segue
b = a + 6, \quad c = a + 12.

Passo 3

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Como c é o maior lado a\le b\le c, aplicamos
c^2 = a^2 + b^2.
Substituindo b e c em função de a, obtemos
(a+12)^2 = a^2 + (a+6)^2.

Passo 4

Desenvolvendo a equação:
(a+12)^2 = a^2 + (a+6)^2 \;\Longrightarrow\; a^2 + 24a +144 = a^2 + \bigl(a^2 +12a +36\bigr)
\Longrightarrow\; a^2 +24a +144 = 2a^2 +12a +36 \;\Longrightarrow\; 0 = a^2 -12a -108.
Isso leva à equação quadrática
a^2 -12a -108 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-12)^2 -4\cdot1\cdot(-108) =144 +432 =576,
logo \sqrt{\Delta}=24, e as raízes são
a = \frac{12 \pm 24}{2} \;\Longrightarrow\; a = 18 \quad\text{ou}\quad a = -6.
Descartamos a=-6 pois o lado de um triângulo deve ser positivo.

Passo 5

Com a=18 e r=6, temos
c = a + 2r = 18 + 2\cdot6 = 18 +12 = 30.

Resposta

A medida de c é 30.

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